Стационарная теплопроводность в телах простейшей формы
Плоская стенка
При установившемся или стационарном тепловом режиме температура тела во времени остается постоянной, т.е. . Если внутренние источники теплоты отсутствуют ( ), то уравнение Фурье имеет вид:
Рассмотрим изотропную стенку толщиной δ, высота и ширина которой являются величинами бесконечно большими относительно толщины δ, с постоянным коэффициентом теплопроводности λ. На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянными температуры tс1 и tс2.
При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки. Если ось Ох направить, как показано на рисунке, то температура в направлении осей Оуи Oz будет оставаться постоянной
Температура будет функцией только одной координаты х и уравнение теплопроводности для рассматриваемого случая запишется
Зададим граничные условия в рассматриваемой задаче
при х = 0 t = tс1
при х = δ t = tс2
В результате решения поставленной задачи должно быть найдено распределение температуры в плоской стенке, т.е. t = f(x), и получена формула для определения количества теплоты, проходящего в единицу времени через стенку.
Закон распределения температур по толщине стенки найдется в результате двойного интегрирования уравнения Фурье.
Первое интегрирование
Второе интегрирование
Постоянные С1 и С2 определяются из граничных условий:
при х = 0 и t = tс1 С2 = tc1
при х = δ и t = tс2
В итоге, закон распределения температуры в рассматриваемой плоской стенке
Для определения количества теплоты, проходящего через единицу поверхности стенки в единицу времени в направлении оси Ох, воспользуемся законом Фурье
, а
Следовательно
Из уравнения следует, что количество теплоты, проходящее через единицу поверхности стенки в единицу времени, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности λ, разности температур на наружных поверхностях стенки (tс1 – tс2) и обратно пропорционально толщине стенки δ.
Отношение δ/λ, (м2·К)/Вт называется тепловым или термическим сопротивлением стенки.
Зная плотность теплового потока, легко вычислить общее количество теплоты , Дж, которое передаётся через поверхность стенки величиной F за промежуток времени τ
Рассмотрим теплопроводность многослойной плоской стенки, состоящей из n однородных слоев. Примем, что контакт между слоями совершенный и температура на соприкасающихся поверхностях двух слоев одинакова.
При стационарном режиме тепловой поток, проходящий через любую изотермическую поверхность неоднородной стенки, один и тот же.
При заданных температурах на внешних поверхностях такой стенки, размерах слоев и соответствующих коэффициентах теплопроводности можно составить систему уравнений
Выразив температурные напоры в каждом слое и сложив правые и левые части полученных уравнений, будем иметь
.
Отсюда
Величина , равна сумме термических сопротивлений всех n слоев, называется полным термическим сопротивлением теплопроводности многослойной стенки.
Цилиндрическая стенка
Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности в цилиндрической стенке (трубе) с внутренним диаметром d1=2r1 и наружным диаметром d2=2r2.
На поверхностях стенки заданы постоянные температуры tс1 и tс2. В заданном интервале температур коэффициент теплопроводности материала стенки λ является постоянной величиной.
Необходимо найти распределение температур в цилиндрической стенке и тепловой поток через нее.
В рассматриваемом случае дифференциальное уравнение теплопроводности удобно записать в цилиндрической системе координат
При этом ось Oz совмещена с осью трубы.
При заданных условиях температура изменяется только в радиальном направлении и температурное поле будет одномерным. Поэтому
и
Уравнение Фурье примет вид
Граничные условия
при r = r1 t = tc1
при r = r2 t = tc2
Введём новую переменную
тогда
Подставляя в уравнение Фурье, получим
,
Интегрируя, получаем
-> -> -> .
После интегрирования
(*)
Подставляя граничные условия
Решение уравнений дает
.
Подставив значения С1 и С2 в уравнение (*), получим
или
Для нахождения количества теплоты, Вт, проходящего через цилиндрическую поверхность величиной F в единицу времени, можно воспользоваться законом Фурье
.
Учитывая, что F=2π·r·l и
получаем , Вт.
Следовательно, количество теплоты, проходящее через цилиндрическую стенку в единицу времени, определяется заданными граничными условиями и не зависит от радиуса.
Тепловой поток Q может быть отнесен либо к единице длины трубы, либо к единице внутренней или внешней поверхности. При этом расчетные формулы для плотности теплового потока, Вт/м2, принимают вид
(тепловой поток через единицу внутренней поверхности);
(тепловой поток через единицу наружной поверхности);
(тепловой поток, проходящий через единицу длины трубы, Вт/м).
Дата добавления: 2016-02-09; просмотров: 1199;