Формулы алгебры предикатов
Так как задача математической логики состоит в описании общих методов умозаключений, то алгебра предикатов должна строиться так, чтобы среди ее символов не было символов, принадлежащих конкретным моделям или классам моделей. Вместо символов предикатов фиксированной сигнатуры в алгебре предикатов используются символы предикатных переменных. Из алгебры предикатов замещением предикатных переменных предикатами сигнатуры s выделяется алгебра предикатов сигнатуры s.
Введем счетное множество предикатных переменных , , счетное множество символов предметных переменных, символы операций и круглые скобки.
Понятие формулы алгебры предикатов определяется также как и формулы алгебры предикатов сигнатуры s. Число всех символов операций, входящих в запись формулы U, называется её рангом и обозначается . Формула называется атомарной, она может записываться , её ранг = 0.
Формула алгебры предикатов сигнатуры s является или высказыванием или некоторым предикатом на модели M. Формула алгебры предикатов является только определенным образом построенной последовательностью символов. Из одной и той же формулы алгебры предикатов можно образовать различные формулы сигнатуры s и формулы различных сигнатур, после чего можно будет говорить об истинностных значениях формулы алгебры предикатов.
Определение.Пусть U - формула алгебры предикатов и
(2)
набор предикатных переменных, входящих в U. Сигнатуру s, а также класс моделей Ks и модель M Î Ks назовем допустимыми для формулы U, если s содержит хотя бы один предикат арности ni для любого , т.е. существует отображение .
Такое отображение назовем сигнатурным. Формула, полученная заменой каждой предикатной переменной её образом S( ), является формулой сигнатуры s и обозначается sU.
Например, для формулы алгебры предикатов
модель арифметики натуральных чисел N = < N; E, S, P > является допустимой, так как можно построить сигнатурное отображение множества предикатных переменных формулы в сигнатуру модели z = < E(2), S(3), P(3)>. Вариантов такого отображения два:
1) , ;
2) , .
Обозначим через sU формулу, полученную подстановкой в формулу U предикатов сигнатурного отображения å.
Определение.Пусть для формулы алгебры предикатов U модель M является допустимой. Тогда:
a) формула U называется выполнимой на модели M, если формула sU выполнима на модели M при некотором сигнатурном отображении S;
b) формула U называется выполнимой, если существует допустимая модель, на которой она выполнима;
c) формула U называется невыполнимой или ложной на модели M, если формула sU невыполнима на модели M при любом сигнатурном отображении S;
d) формула U называется невыполнимой, если на любой допустимой модели она не выполнима;
e) формула U называется тождественно истинной на модели M, если формула sU истинна на модели M при любом сигнатурном отображении S;
f) формула U называется общезначимой, если она тождественно истинна на любой допустимой модели.
Примеры.
Формула алгебры предикатов на допустимой модели арифметики натуральных чисел N = < N; E, S, P > является ложной, так как для любых не существует такое натуральное x2, что или .
Формула алгебры предикатов общезначима.
Дата добавления: 2016-02-09; просмотров: 1093;