Отношения между суждениями по истинности. Логический квадрат

Между суждениями, имеющими один и тот

же субъект и предикат, имеют место следующие отношения: отношение противоречия или контрадикторности; отношение противоположности или контрарности; отношение подпротивности; отношение подчинения.

Эти отношения принято изображать в виде схемы – так называемого «логического квадрата».

Буквы А, Е, I, О, помещенные в углах квадрата, обозначают виды суждений, а стороны и диагонали – возможные отношения между суждениями.

Отношение противоречия (А – О; Е – I)

Отношение противоречия между суждениями с одинаковыми субъектами и предикатами характеризуются тем, что находящиеся в этом отношении суждения не могут быть одновременно ни истинными, ни ложными. Если одно из противоречащих суждений истинно, тодругое непременно ложно и наоборот, если одно из них ложно, то другое истинно. Примером противоречащих высказываний являются следующие: А – «Все люди смертны» и О – «Некоторые люди не являются смертными»; Е – «Ни один пацифист не хочет войны» и I – «Некоторые пацифисты хотят войны». Символически отношение противоречия записываются так:

A : ∀x(S(x)→P(x))→∃x(S(x) ∧ P(x)) .

Если верно, что все S суть P, то неверно, что некоторые S не суть P

А : ∀x(S(x)→P(x))→∃x(S(x) ∧ P(x)) .

Если не верно, что все S суть P, то верно, что некоторые S не суть P

A: ∃x(S(x)∧ P(x))→∀x(S(x)→P(x)).

Если O : ∃x(S(x)∧ P(x))→∀x(S(x)→P(x)).

Если неверно, что хотя бы некоторые S не суть P, то верно, что все S суть P

I E : ∀x(S(x)→P(x))→∃x(S(x) ∧ P(x)) .

Если верно, что ни одно S не суть P, то неверно, что некоторые S суть P

I E : ∀x(S(x)→P(x))→∃x(S(x) ∧ P(x)) .

Если неверно, что ни одно S не суть P, то верно, что некоторые S суть P

E I : ∃x(S(x)∧ P(x))→∀x(S(x)→P(x)).

Если верно, что некоторые S суть P, то неверно, что ни одно S не суть P

E I : ∃x(S(x)∧ P(x))→∀x(S(x)→P(x)).

Если неверно, что хотя бы некоторые S суть P, то верно, что ни одно S не суть P.

Отношение противоположности (А – Е)

Отношение противоположности характеризуется тем, что находящиеся в этом отношении суждения не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Отсюда следует, что если одно из противоположных суждений истинно, то другое ложно, но не наоборот. Если одно из них ложно, то другое неопределенно.

Примеры противоположных суждений:

А – «Все рыбы дышат жабрами»,

Е – «Ни одна рыба не дышит жабрами».

Символически отношение противоположности записывается так:

E A :∀x(S(x)→P(x))→∀x(S(x)→P(x)).

Если верно, что все S суть P, то неверно, что ни одно S не суть P

A E : ∀x(S(x)→P(x))→∀x(S(x)→P(x)).

Если верно, что ни одно S не суть P, то неверно, что все S суть P

Отношение подпротивности (I – O)

Отношение подпротивности состоит в том, что суждения, находящиеся в этом отношении, не могут быть одновременно ложными, но могут быть одновременно истинными. Отсюда следует, что если одно из них ложно, то другое истинно. Если же одно истинно, то другое неопределенно. Например:

О – «Некоторые люди бывали на Марсе» – ложно,

I – «Некоторые люди не бывали на Марсе» – истинно.

Символически это отношение записывается так:

O I : ∃x(S(x)∧ P(x))→∃x(S(x)∧ P(x)).

Если неверно, что некоторые S суть Р, то верно, что некоторые S не суть P

I O : ∃x(S(x)∧ P(x))→∃x(S(x)∧ P(x)).

Если неверно, что некоторые S не суть P, то верно, что некоторые S суть P.