Свойства бинарных отношений

1. Отношение рефлексивности

Некоторое отношение, имеющее место среди предметов определенного класса, называется рефлексивным, если каждый предмет этого класса находится в данном отношении к самому себе.

Символически это отношение записывается так: ∀x∀y(xRy→xRx ∧ yRy) .

Примером рефлексивных отношений будут отношения «равенство», «эквивалентность», «тождество».

Отношение антирефлексивности. Отношение называется антирефлексивным, если ни один предмет данного класса не находится в этом отношении к самому себе. Таковы отношения «отцовство», «больше», «неравенство».

2. Отношение симметричности

Отношение называется симметричным, если для любых предметов x и y данного класса верно, что если предмет x находится в каком-то отношении к предмету y, то и предмет y находится в этом отношении к предмету x. Символическая запись данного свойства: ∀x∀y(xRy→yRx). Свойством симметричности обладают отношения «равенство», «неравенство», «соседство».

Отношения асимметричности. Отношение между предметом называется асимметричным, если перестановка их влечет за собой исчезновение этого отношения. Например, «является мужем», «быть больше».

Отношение несимметричности имеет место тогда, когда оно не является ни симметричным, ни асимметричным. Например, «ухаживать за» (оно не является симметричным, в то же время с необходимостью не является асимметричным).

3. Отношение транзитивности

Отношение называется транзитивным, если из наличия этого отношения между предметами x и y, а также между y и z следует его наличие между x и z

∀x∀y∀z(xRy ∧ yRz→xRz).

Примером транзитивных отношений являются отношения «больше», «равно», «ниже».

В случае, если указанное выше условие не выполняется, отношение называется нетранзитивным. Таковыми являются отношения «любить», «дружба», «зависеть».

4. Отношение эквивалентности

Отношение будет эквивалентным, если оно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Эквивалентными будут отношения «равенство», «тождество», «сверстничество» (одного возраста).

Теория суждений отношений выходит за рамки традиционной логики. Современная формальная логика рассматривает суждения свойства (атрибутивные) как частный случай суждений отношений, а именно как суждения с одноместным предикатом.

Деление атрибутивных суждений по качеству и количеству

Деление атрибутивных суждений по качеству

Деление атрибутивных суждений по качеству производится в зависимости от характера связки, указывающей на наличие или отсутствие свойства предмета мысли и выражающейся словами «есть», «суть», «быть», «являться».

В соответствии с этим атрибутивные суждения делятся на утвердительные и отрицательные.Например, «Все люди суть разумные существа» – утвердительное суждение, «Ни один папоротник никогда не цветет» – отрицательное суждение.

Деление атрибутивных суждений по количеству

В зависимости от того, утверждается или отрицается что-либо о предмете мысли относительно всего логического класса, части его или одного предмета, атрибутивные суждения делятся на общие, частные или единичные. Например, суждение «Все металлы – проводники» – общее, «Некоторые люди не знают грамоты» – частное, «Иван Сергеевич Тургенев – автор романа «Отцы и дети»» – единичное.

Объединенная классификация суждений по качеству и количеству

По качеству и количеству атрибутивные суждения делятся на четыре вида.

1. Общеутвердительные – суждения, являющиеся одновременно общими и утвердительными. Например, «Все крокодилы суть пресмыкающиеся животные».

2. Частноутвердительные – суждения, частные и утвердительные одновременно. Например, «Некоторые юристы являются прокурорами».

3. Общеотрицательные – общие и отрицательные одновременно. Например, «Ни одна планета не светит собственным светом».

4. Частноотрицательные – частные и отрицательные одновременно. Например, «Некоторые утверждения не являются истинными».

Единичные суждения в отдельную группу не выделяются, анализируются как общие.

Символическое выражение категорических суждений

Указанные виды суждений принято обозначать гласными буквами латинских слов affirmo (утверждаю) и nego (отрицаю). Первые гласные буквы этих слов обозначают общие суждения, а вторые – частные.