Медиана и квартили.

Как выяснилось, для описания нормально распределённых признаков достаточно вычислить среднее и среднее квадратическое отклонение. Но для других распределений количественных признаков, например асимметричных, полагаться на среднее и среднее квадратическое отклонение нельзя.

Для описания таких данных лучше подходит не среднее, а ме­диана. Медиана – это значение, которое делит распределение пополам: половина значений больше медианы, половина – мень­ше (точнее, не больше). Для определения медианы надо все имеющиеся значения упорядочить по возрастанию или убыванию, в центре этого ряда и будет находиться медиана. Медиану обозначают Me.

Для характеристики разброса можно использовать квартили, они в отличие от медианы делит ряд не пополам, а на четыре части. Их будет три, четверть всех значений будет меньше первого квартиля, половина (две четверти) значений – меньше второго квартиля и три четверти значений – меньше третьего квартиля. Медиану получается можно считать вторым квартилем. Вычисляются квартили аналогично медиане, по упорядоченному ряду, только отслеживается четверть, две четверти и три четверти всех значений. Квартили обозначают соответственно Q₁, Q₂, Q₃.

Конечно, медиана и квартили, в отличие от среднего и среднего квадратического отклонения, не дают полного описания распреде­ления. Однако между первым и третьим квартилями находится по­ловина значений – значит, мы можем судить, в каких пределах находится среднее значение. По положению медианы относительно 1-го и 3-го квартилей можно судить о том, насколько асим­метрично распределение. И, наконец, теперь мы примерно зна­ем, какие значения показателя можно считать большими в данной совокупности (выше 3-го квартиля), а какие маленькими (ниже 1-го квартиля).

Для описания распределения чаще всего применяют 1-й и 3-й квартили. Однако ряд распределения можно разбить на любое другое число частей, а не только на две или четыре. Так разбиение на 10 частей будет осуществляться децилями, а на 100 частей процентилями. Порядок их вычисления аналогичен медиане и квартилям. Например, в качестве границ нормы лабораторных показателей часто используют 5-й и 95-й процентили.

Вычисление квартилей или процентилей, кроме того – хороший способ разобраться в том, насколько распределение близко к нормальному. Напом­ним, что для нормального распределения 95% значений заклю­чено в пределах двух средних квадратических отклонений от среднего и 68% – в пределах одного среднего квадратического отклонения; медиана совпадает со средним. Соответствие между процентилями и числом средних квадратических отклонений от среднего таково:

А соответствие между квартилями и отклонениями от среднего:

Если соответствие между квартилями или процентилями и отклонениями от среднего не слишком отличаются от приведенных, то распреде­ление близко к нормальному и его можно описать при помощи среднего и среднего квадратического отклонения.

Есть еще одна, и очень важная, причина, по которой нужно знать, близко ли распределение к нормальному. Дело в том, что многие методы проверки гипотез, основаны на предположении, что распределение близко к нормальному. Только в этом случае эти методы будут надежны. Такие методы называются параметрические, т.е. основанные на параметрах распределения (нормального).

Выборочные оценки.

До сих пор нам удавалось получить данные обо всех объектах со­вокупности, поэтому мы могли точно рассчитать значения сред­него, дисперсии и среднего квадратического отклонения. На самом деле об­следовать все объекты совокупности удается редко: обычно до­вольствуются изучением выборки, полагая, что эта выборка отра­жает свойства совокупности. Выборку, отражающую свойства совокупности, называют представительной или репрезентативной. Основным способом обеспечения репрезентативности является случайный характер отбора элемента из совокупности в выборку. Имея дело с выбор­кой, мы, конечно, не узнаем точных значений среднего и среднего квадратического отклонения, но можем оценить их. Оценка среднего, вычисленная по выборке, называется выборочным средним. Вы­борочное среднее обозначают и вычисляют по формуле: , где n – объем выборки.

Оценка среднего квадратического отклонения называется выборочным средним квадратическим отклонением (s) и определяется следующим образом: .

Эта формула отличается от формулы для среднего квадратического отклонения по совокупности. Во-первых, среднее m или заменяется его выборочной оценкой – . Во-вторых, в знаменателе из числа членов выборки вычитается единица. Это определяется требованием несмещённости оценки относительно истинного значения. Можно дать и такое нестрогое объяснение: разброс значений в пределах выборки никогда не бывает столь большим, как во всей совокупности, и деление не на n, а на n-1 компенсирует возникающее занижение оценки среднего квадратического отклонения.