Формирование случайных процессов

В соответствии с теорией случайных процессов сформировать случайный процесс с заданной корреляционной функцией можно, если сначала сформировать случайный процесс, являющийся нормально (гауссов закон) распределённым белым шумом, а затем «пропустить» его через некоторое динамическое звено (формирующий фильтр). На выходе получается нормально распределённый случайный процесс с корреляционной функцией, вид которой определяется типом формирующего фильтра как динамического звена.

Белый гауссов шум образуется при помощи процедуры randn. Для этого нужно задать дискрет времени Ts, затем образовать с этим шагом массив (вектор) t моментов времени в нужном диапазоне, а затем сформировать по указанной процедуре вектор-столбец длиной, равной длине вектора t, например:

>>Ts = 0.01;

>>t = 0: Ts: 20;

>>xl = rand (1, length(t));

>>plot (t, x1), grid, set (gca, 'FontName', 'ArialCyr', 'FontSize', 16)

>>title ('Входной процесс - белый шум Гаусса (Ts = 0.01)');

>>хlabеl('Время(с)');

>>ylabel('x1(t)');

Проделаем эту процедуру с Ts = 0.001 с (x2(t))

Создадим дискретный фильтр 2-го порядка с частотой собственных

колебаний 1 Гц и относительным коэффициентом затухания η=0.05 по формулам (4.16) коэффициентов:

>>om0 = 2*pi; dz = 0.05; А = 1; omS = om0*Ts;

>>а(1) = 1+2*dz*omS + omS^2;

>>a(2) = -2*(1+dz*omS);

>>a(3)= 1;

>>b(1)=A*2*dz*omS^2;

Пропустим образованный процесс x₁(t) через созданный фильтр:

>>y1=filter (b, a, x1);

Построим график процесса y1(t) на выходе фильтра:

>>plot (t,y1), grid, Set (gca, 'FontName', 'ArialCyr', 'FontSize', 16)

>>title ('Процесс на выходе фильтра (Т0=1; dz=0.05, Ts=0.01)';

>>xlabel ('Время (с)');

>>ylabel ('Y1(t)')

Аналогичные операции произведем с процессом x₂(t):

>>Ts=0.01

>>om0 = 2*pi; dz = 0.05; A = 1; omS = omO*Ts;

>>a(1) = l+2*dz*omS + omS^2;

>>a(2) = -2*(1+dz*omS);

>>a(3)= 1;

>>b(1) = A*2*dz*omS^2;

>>у1=filter (b, a, x2); t=0: Ts: 20;

>>plot (t,y1), grid;

>>Set (gca, 'FontName', 'ArialCyr', 'FontSize', 14)

>>title ('Процесс на выходе фильтра (Т0=1; dz=0.05, Ts=0.01)';

>>xlabel ('Время (с)');

>>ylabel ('Y2 (t)')

На выходе формирующего фильтра образуется случайный процесс с преобладающей частотой 1 Гц.

Спектральная плотность мощности (СИМ (или СП))

В теории случайных процессов СПМ определяется как Фурье-изображение корреляционной функции R₁₂(t) и применяется в основном для двух одновременно протекающих стационарных процессов x₁(t) и x₂(t). Взаимная корреляционная функция (ВКФ) двух таких процессов

определяется соотношением:

То есть ВКФ является средним во времени значением произведения 1-й функции на сдвинутую относительно неё на время задержки τ вторую функцию.

Таким образом, взаимная спектральная плотность (ВСП) двух стационарных процессов может быть определена следующим образом:

При численных расчётах, когда оба процесса x₁(t) и x₂(t) заданы на определённом ограниченном промежутке времени Т своими значениями в некоторых точках, разделённых дискретом времени Ts, формулу (4.19) можно трансформировать в следующую:

или более простое соотношение:

а вместо (4.20) использовать:

Подставим (4.22) в (4.23) и изменим в нём порядок суммирования, тогда придём к соотношению между ВСП и результатами преобразований процедурой fft заданных измеренных значений процессов:

где - комплексно сопряжённое значение .