Сосредоточенные и распределенные модели
Математическими моделями на микроуровнепроектирования служат дифференциальные уравнения в частных производных или интегральные уравнения, описывающие поля физических величин, т.е. модели с распределенными параметрами. Независимыми переменными являются пространственные координаты x, y, z и время t. Примерами таких моделей являются уравнения математической физики с заданными краевыми условиями. Например, уравнение теплопроводности:
которое описывает зависимость температуры Т не только от времени t, но и от расстояния x сечения стержня от нагреваемого конца (рис. 1.19).
Рис. 1.19. Изменение температуры в зависимости от времени и расстояния сечения от нагреваемого конца
Уравнения математической физики имеют общий вид: LV(z)=f(z), где z=(t,x,y,z) – вектор независимых переменных; L – дифференциальный оператор; V(z) – функция, определяемая природой описываемого объекта.
Другие примеры уравнений в частных производных: уравнения диффузии, упругости, электро- и газодинамики.
Уравнение диффузииописывает зависимость концентрации частиц N не только от времениt, но и от положения (x, y, z) точки в теле (в среде):
где D – коэффициент диффузии.
Уравнения непрерывностиописывают изменения дырочного и электронного токов в полупроводниковых приборах. Для дырок:
для электронов:
где p – концентрация дырок, n – электронов; q – заряд электрона; Jp и Jn – плотности дырочного и электронного токов; gp и gn – скорости процессов генерации-рекомбинации дырок и электронов.
Уравнение теплопроводности в общем случае трех пространственных координат (а не только одной, как в случае со стержнем) также записывается через дивергенцию и градиент температуры:
где С – удельная теплоемкость; D – плотность; Т – температура; t – время;
8 – коэффициент теплопроводности; g – количество теплоты, выделяемой в единицу времени в единице объема.
Напомним, что градиент есть векторная функция:
Если обозначить частные производные
то дивергенцию – скалярную функцию – можно записать в следующем виде:
Дата добавления: 2016-02-02; просмотров: 849;