Понятие о кривой линии

Линии играют большую роль в науке и технике. Они позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью линий удаётся решить многие научные и инженерные задачи, решение которых аналитическим путём часто приводит к использованию громоздкого математического аппарата. Кроме самостоятельного значения, линии широко используются при конструировании поверхностей различных технических форм.

Общее определение кривой, или просто линии, представляет определённые трудности, и поэтому каждый раздел математики использует своё, более конкретное определение. В математике под кривой понимается непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая в декартовой системе координат уравнениями вида:

y = f(x) или φ(x,y) = 0.

В начертательной геометрии оперируют ещё более конкретным понятием кривой, базирующимся на способе её образования: под кривой понимается траектория движения некоторой точки. Если считать, что точка движется в зависимости от некоторого параметра, например, времени, который изменяется непрерывно, то можно сказать, что кривая есть непрерывное однопараметрическое множество точек.

Кривая называется плоской, если все её точки принадлежат некоторой плоскости. Кривая, не лежащая всеми точками в одной плоскости, называется пространственной.

Касательной прямойt в точке М плоской кривой k называется предельное положение секущей MM', когда точка M' оставаясь на линии k, стремится к точке М (рис.7.1).

Нормалью n в точке М плоской кривой k называется прямая, лежащая в плоскости кривой k и перпендикулярная к касательной прямой t в этой точке (рис.7.2).

Рис.7.1. Касательная к кривой

Рис.7.2. Нормаль кривой

Предельное положение окружности m, проходящей через точки M', M и M'', при стремлении точек M' и M'' к точке M, называется кругом кривизны кривой в точке M (рис.5.3). Радиус R этой окружности называется радиусом кривизны. Величина k=1/R называется кривизной кривой в точке М.

Рис.7.3. Круг кривизны кривой

Точка кривой называется обыкновенной или регулярной, если в этой точке можно построить единственную касательную к кривой, и особой – в противном случае. Если в обыкновенной точке кривизна кривой имеет экстремальное значение или равна нулю, эта точка называется специальной, например, вершины эллипса, параболы. Специальная точка, в которой кривизна равна нулю, называется точкой перегиба. В ней касательная пересекает кривую и разделяет вогнутую и выпуклые части этой кривой.

Точка А′, лежащая на нормали n к плоской кривой k на расстоянии r от неё, называется эквидистантной (рис.7.4). Совокупность всех эквидистантных точек называется эквидистантой кривой. Различают внешнюю и внутреннюю эквидистанты (для замкнутых кривых) или правую и левую (при введенном направлении кривой) для незамкнутой кривой.

Рис.7.4

Эквидистанты имеют большое значение в технике. В частности по эквидистанте движется геометрический центр фрезы (режущего инструмента для фрезерного станка) при обработке плоского контура детали.

Существуют следующие способы задания кривых: графический (кривая задаётся на чертеже), табличный (кривая задаётся координатами своих точек) и аналитический. При аналитическом способе кривая задаётся каким-либо уравнением или системой уравнений. В зависимости от природы уравнения кривые подразделяются на алгебраические, задаваемые алгебраическими уравнениями, и трансцендентные, задаваемые неалгебраическими уравнениями в декартовой системе координат. Алгебраические кривые в свою очередь подразделяются в зависимости от порядка уравнения кривой на кривые второго, третьего и т.д. порядка.

Алгебраической кривой n-го порядка называется кривая, уравнение которой после освобождения его от дробей и радикалов записывается в декартовой системе координат в виде:

К основным характеристикам алгебраической кривой относится её порядок. Порядок плоской кривой графически определяется максимально возможным количеством точек её пересечения с произвольной прямой, а если кривая пространственная – то с плоскостью.