Резонанс напряжений

Условием возникновения резонанса напряжений в последовательном RLC - контуре является равенство реактивных сопротивлений катушки и конденсатора.

При значения противоположных по фазе напряжений на индуктивности и на емкости равны, поэтому резонанс в рассматриваемой цепи называют резонансом напряжений.

ü

.

ü Из формулы закона Ома следует, что при ток в контуре максимален и, ввиду чисто активного сопротивления цепи, совпадает по фазе с приложенным напряжением: .

ü Напряжение на индуктивности и на емкости равны и в Q раз превышают приложенное напряжение:

. (3.49)

Величина Q называется добротностью контура и показывает во сколько раз напряжение на реактивном (индуктивном или емкостном) элементе превышает напряжение на входе схемы в резонансном режиме. В радиотехнических устройствах Q может достигать 300 и более.

Для добротности контура можно записать также следующие соотношения:

, (3.50)

где ρ – волновое (характеристическое) сопротивление контура:

. (3.51)

Угловая частота, при которой наступает резонанс, называется резонансной угловой частотой:

. (3.52)

А частота, при которой возникает резонанс – соответственно резонансной частотой.

. (3.53)

Рассмотрим частотные характеристики последовательного контура, то есть характер изменения ёмкостного и индуктивного сопротивлений при изменении частоты питающего напряжения.

Графики этой зависимости приведены на рис. 3.20.

Емкостное сопротивление при увеличении частоты уменьшается от бесконечности до нуля по закону обратной пропорциональности.

Индуктивное сопротивление при увеличении частоты увеличивается от нуля до бесконечности прямо пропорционально ω.

Как видно из рисунка при увеличении частоты от 0 до реактивное сопротивление имеет емкостной характер и изменяется от до 0. Вследствие этого ток в цепи возрастает от 0 до , а угол сдвига фаз между напряжением и током изменяется от до 0. Дальнейшее увеличение частоты от до приводит к увеличению реактивного сопротивления X от 0 до , которое будет иметь индуктивный характер.

В результате ток уменьшается от до 0, а угол φ возрастает от до 0. При этом напряжение изменяется пропорционально току.

Важно отметить, что максимум напряжения на конденсаторе имеет место при частоте немного ниже резонансной, а на индуктивности - при частоте немного выше резонансной. Это можно наблюдать по следующим формулам.

; (3.54)

; (3.55)

. (3.56)

Колебательный контур обладает ещё одним замечательным свойством – избирательностью.

Свойство контура выделять и усиливать сигналы определённой частоты и частот, близких к ней, называется избирательностью.

Для оценки избирательных свойств цепи вводят условное понятие ширины резонансной кривой или полосой пропускания контура, которую определяют как разность верхней и нижней частот, в пределах которых величина мощности в резисторе R составляет не менее 50% от мощности при резонансе:

.

На рис. 3.21 приведена резонансная кривая контура. Из рисунка видно, что чем выше добротность, тем ýже полоса пропускания контура.

Резонанс токов

Рассмотрим цепь с двумя параллельными ветвями на рис. 3.22.

Такую цепь часто называют параллельным контуром. Условием возникновения резонанса является равенство реактивных проводимостей:

, (3.57)

. (3.58)

. (3.59)

При противоположные по фазе реактивные составляющие токов равны, поэтому резонанс в рассматриваемой цепи получил название резонанса токов.

Из векторной диаграммы на рис. 3.23а видно, что при резонансе ток на выходных выводах контура может быть значительно меньше токов в отдельных ветвях.

При резонансе общий ток в параллельном контуре по фазе совпадает с приложенным напряжением.

Добротность контура показывает во сколько раз ток в ветви превышает питающий ток и определяется следующим соотношением:

, (3.60)

где ,

- эквивалентное активное сопротивление при резонансе:

- если . (3.61)

В общем случае резонансная частота определяется по формуле:

, (3.62)

где - резонансная угловая частота при - аналогичная последовательному контуру.

В теоретическом случае при токи и сдвинуты по фазе относительно напряжения на углы (рис. 3.23б) и суммарный ток . Входное сопротивление цепи при этом бесконечно велико.

Как видно из формулы 3.62 резонанс возможен, если сопротивления оба больше или оба меньше ρ.

Если , то резонансная частота имеет любое значение, то есть резонанс наблюдается на любой частоте.

На рис. 3.24 показаны частотные характеристики проводимостей ветвей и , и входной проводимости цепи .

При изменении частоты от 0 до эквивалентная проводимость , то есть индуктивная и изменяется от до 0. При наступает резонанс токов, .

При возрастании частоты от до входная проводимость , то есть имеет емкостной характер и изменяется от 0 до .