Метод секущих плоскостей

Для решения задач на пересечение двух поверхностей вращения с параллельными осями можно использовать вспомогательные плоскости, перпендикулярные к осям вращения. В этом случае поверхности пересекаются с плоскостями по окружностям, на пересечении которых лежат точки искомой линии пересечения. Метод секущих плоскостей может рассматриваться как частный случай метода сфер с бесконечно большим радиусом. На рис. 4.19 приведён пример решения задачи на пересечение сферы с конусом вращения. Вспомогательные горизонтальные плоскости α пересекают поверхности по окружностям, которые на π₂ вырождаются в прямые линии, совпадающие с фронтальными следами вспомогательных плоскостей α_π2, а на π₁ изображаются без искажения. На пересечении получаемых окружностей определяются общие точки поверхностей.

Рис. 4.19. Метод секущих плоскостей

Для определения линии пересечения двух линейчатых поверхностей необходимо построить множество точек, принадлежащих одновременно образующим одной и другой поверхностям. Эту задачу можно рассматривать как многократное решение задачи на пересечение прямой линии с линейчатой поверхностью. Для решения задач на пересечение двух линейчатых конических или цилиндрических поверхностей можно также использовать вспомогательные плоскости, проходящие через вершины конусов или параллельные образующим цилиндров, которые будут пересекать заданные поверхности по образующим. Пусть заданы коническая и цилиндрическая поверхности. Коническая поверхность задается вершиной конуса S и направляющей q, а цилиндрическая поверхность – направлением образующих R и направляющей m (рис. 4.20).

Рис. 4.20. Схема решения задачи на пересечение конической и цилиндрической поверхностей

Для решения этой задачи используем вспомогательные плоскости, проходящие через вершину конуса и параллельно направлению. Всё множество плоскостей образует пучок плоскостей с осью s, горизонтальные следы этих плоскостей представляют собою пучок прямых с центром в точке S^*, являющейся следом прямой s. Точки Q и M, в которых след вспомогательной плоскости пересекает направляющие поверхностей q и m, определяют положение образующих на поверхностях, по которым происходит пересечение вспомогательных плоскостей и заданных поверхностей. На пересечении образующих, лежащих вы одной вспомогательной плоскости, получаются общие точки заданных поверхностей, принадлежащие линии пересечения. Решение этой задачи может быть трактовано как построение дополнительной проекции на заданных поверхностей из центра или в направлении (см. 2.4, рис. 2.25). Тогда одна поверхность станет проецирующей, и горизонтальная проекция линии пересечения поверхностей будет совпадать с вырожденной проекцией одной поверхности (т.е. будет уже задана), а фронтальная проекция линии пересечения определится как недостающая проекция линии на другой поверхности (см. 4.2).

Для решения задач на пересечение двух поверхностей можно использовать вспомогательные цилиндрические или конические поверхности. Этот метод используют в тех случаях, когда требуется определить линию пересечения двух поверхностей, из которых одна линейчатая поверхность (цилиндрическая или коническая), а другая произвольная поверхность вращения. Вспомогательные конические или цилиндрические поверхности проводят через вершину заданной конической поверхности или параллельно направляющим заданного цилиндра.