Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы.

Часто используют уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат. Мы фиксируем полюс полярной системы координат в фокусе кривой. При этом для эллипса выбираем левый фокус, а для гиперболы - правый. Полярную ось выбираем так, чтобы её направление совпадало с положительным направлением оси абсцисс.

Все три вида кривых описываются общим свойством: для любой точки отношение расстояний до фокуса и до директрисы постоянно и равно эксцентриситету кривой. Значение эксцентриситета определяет тип кривой. Если зафиксировать фокальный параметр (это расстояние от фокуса до директрисы) так, что положение директрисы в выбранной системе координат будет оставаться неизменным, то варьируя эксцентриситет, получим единый ряд эллипсов, параболы, правых ветвей гипербол (См. рис. 11.25). Конкретная кривая определяется своим эксцентриситетом при помощи уравнения: , (4)

где - полярный, он же фокальный радиус точки на кривой, - перпендикуляр, опущенный из точки на директрису (См. рис. 11.25 ).

Так как , то подставив это выражение в (4), получим: или (5)

Уравнение (5) называется полярным уравнением эллипса, параболы, правой ветви гиперболы.