Определение расположения линии второго порядка по отношению к прямоугольной системе координат

Для определения расположения линии второго порядка, заданной общим уравнением

относительно ДПСК, достаточно знать параметры, характеризующие данную линию и ту систему координат, в которой уравнение линии является каноническим.

Если уравнение (1) является уравнением эллипса, то надо найти его полуоси, центр и направление оси, на котором лежат его фокусы.

Если уравнение (1) является уравнением гиперболы, то надо найти её полуоси, центр и направление действительной оси.

Если уравнение (1) является уравнением параболы, то надо найти её параметр, вершину и направление одного из двух лучей оси, например того, на котором лежит фокус.

Если линия сводится к одной точке, то надо найти её координаты.

Наконец, если линия распадается на две действительные прямые, то надо найти (в данной системе координат) уравнение каждой из них.

Если в уравнении (1) , то расположение линии определяется при помощи параллельных переносов по осям и . Если в уравнении (1) , то надо повернуть систему координат на угол , чтобы в повёрнутой системе коэффициент обнулился и затем опять при помощи параллельных переносов по осям и привести уравнение к одному из следующих простейших видов:

I. где

II. где

III. где

Ранее нами были найдены значения коэффициентов простейших уравнений (с помощью теории инвариантов) и их мы записали в следующем виде:

I.

II.

III.

Угловой коэффициент новой оси для каждого из простейших уравнений I, II, III линий второго порядка определяется по формуле: , (2)

где - тот корень характеристического уравнения, который является коэффициентом при в простейших уравнениях.

1. Эллипс. Если уравнение (1) является уравнением эллипса, то простейшее уравнение имеет вид:

( , ).

Считая, что через обозначен меньший по абсолютной величине корень характеристического урав-нения ( ), и переписывая последнее уравнение в виде: или ,

где , , заключаем, что .

Так что по формуле (2) определяется угловой коэффициент большей оси эллипса.

Координаты центра эллипса находятся из системы:

(3)

1. Гипербола. Если уравнение (1) является уравнением гиперболы, то простейшее уравнение имеет вид:

( , ).

Обозначая через тот из корней характеристического уравнения, который имеет тот же знак, что и , перепишем последнее уравнение в виде: или ,

где - действительная полуось, - мнимая полуось.

По формуле (2) определяется угловой коэффициент действительной оси гиперболы.

Координаты центра гиперболы находятся из системы: (3)

3. Парабола. Если уравнение (1) является уравнением параболы, то простейшее уравнение имеет вид:

( , ). Здесь , .

По формуле определяется угловой коэффициент оси параболы. Параметр параболы определяется по формуле

Координаты вершины параболы находятся так: возьмём на параболе точку . Координаты вектора , нормального к касательной к параболе в этой точке таковы: (т.к. уравнение касательной в точке имеет вид: .

Для того чтобы точка являлась вершиной параболы, необходимо и достаточно, чтобы вектор имел направление диаметров параболы (асимптотическое направление), т.е. чтобы выполнялось условие:

(4). (Мы с вами ранее установили, что для параболы вектор имеет направление, параллельное оси параболы). Теперь, умножая первое равенство в системе (4) на , второе – на и складывая их почленно, будем иметь:

, откуда:

(5)

Переписывая уравнение параболы в виде:

В силу соотношений (4) имеем:

(6)

Таким образом, для нахождения координат вершины параболы надо решить линейную систему (4), (6), где определяется по формуле (5). То есть. Сначала находим , подставляем его в систему: (7)

В этой системе одно уравнение обязательно окажется лишним, и координаты вершины параболы определятся однозначно.

И последнее. Вектор, направленный по оси параболы в сторону её вогнутости определяется из соотношения: .