Центр тяжести тела.

Равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы тела, будет численно, равна весу тела, а ее линия действия будет проходить ,через точку, совпадающую с центром параллельных сил тяжести частиц тела. При изменении тела в пространстве, что соответствует изменению направлений сил относительно тела, эта точка согласно свойству центра параллельных сил не изменяет своего положения по отношению к телу. Точка, являющаяся центром параллельных сил тяжести частиц тела, называется центром тяжести данного тела.

Пусть имеем некоторое тело. Разобьем его на отдельные частицы и обозначим через Побьем всего тела, DV- объем какой-нибудь частицы, а через DP- вес этой частицы, r- плотность тела. Тогда радиус-вектор или координаты центра масс тела определяются:

;

;

;

.

Иногда приходится находить центр тяжести пластинок. Толщина пластинки по сравнению с двумя другими ее измерениями очень мала и всюду одинакова, поэтому можем находить центр тяжести не объема, а площади. Тогда радиус-вектор и координаты центра тяжести пластинки, расположенной в плоскости:

;

будут определяться формулами:

; ,

где .

В некоторых случаях требуется найти центр тяжести материальной линии, т. е. тела, у которого площадь поперечного сечения всюду одинакова и очень мала по сравнению с длиной. Тогда определение центра тяжести тела сведется к определению центра тяжести линии, положение которой найдется по формуле: .

Теорема 1. Площадь поверхности, полученной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, но не пересекающей, равна длине этой дуги, умноженной на длину окружности, описанной ее центром тяжести.

Теорема 2. Объем тела вращения, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры и ее не пересекающей, равен произведению площади этой фигуры на длину окружно­сти, описанной центром тяжести площади фигуры.

Метод группировки.

В задачах о нахождении центра тяжести тела иногда бывает легче определить центры тяжести отдельных его частей, на которые можно разбить тело. Пусть данное тело разбили на несколько частей и определили центр тяжести каждой такой части тела, т. е. нашли: и т.д.

Если теперь сгруппировать слагаемые, то получим: