Понятие несобственного интеграла

Пусть функция определена и непрерывна на интервале . Тогда она непрерывна и, следовательно, интегрируема на любом конечном отрезке .

Определение. Предел называется несобственным интегралом от функции на интервале .

Обозначение:

Определение.Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл называется сходящимся. Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:

,

при условии, если входящие в них интегралы существуют.

Пример.

- не существует.

Несобственный интеграл расходится.

Пример.

- интеграл сходится

Несобственные интегралы от неотрицательных функций

Теорема. Если для всех выполняется условие и интеграл сходится, то тоже сходится и ³ .

Теорема. Если для всех выполняется условие и интеграл расходится, то тоже расходится.

Теорема. Если сходится, то сходится и интеграл .

В этом случае интеграл называется абсолютно сходящимся.