Обучающие системы распознавания

 

В теории и практике построения систем распознавания значительная роль принадлежит задаче обучения, состоящей а наилучшем описании классов объектов на языке признаков в условиях дефицита исходной информации. При этом под “наилучшим” понимается такое описание классов, при котором обеспечивается наибольшая точность (достоверность) распознавания неизвестных объектов.

В настоящее время большое внимание уделяется проблеме создания обучающих систем, т.е. таких систем, которые способны с течением времени улучшать свое функционирование.

Таким образом, необходимость в применении обучающихся систем возникает в тех случаях, когда система должна работать а условиях неопределенности и имеющаяся априорная информация настолько мала, что отсутствует какая-либо возможность заранее спроектировать систему с фиксированными свойствами, которая работала бы достаточно хорошо.

Принцип построения обучающихся систем основан на использовании процессов обучения, осуществляемых вероятностными итеративными алгоритмами, именуемыми алгоритмами обучения, позволяющими в результате обработки текущей информации восполнить недостаток априорной информации и, в конечном итоге, достигнуть наилучших, с определенной точки зрения, показателей качества работы.

 

Цель обучения. В общей форме цель представляет собой то состояние, к которому должна прийти система в результате обучения.

Выделение этого состояния, по существу, сводится к выбору некоторого функционала, экстремум которого отвечал бы тому состоянию. Изменение состояния системы достигается изменением внешнего управляющего воздействия либо изменением параметров системы.

Введем вектор: С = (С1,…,СN), компоненты которого представляют собой значения характеристик управляющего воздействия либо значения параметров. Тогда в качестве функционала можно выбрать функционал вектора С вида:

,

где х = (х1,…,хМ) – вектор случайного стационарного дискретного или непрерывного процесса, плотность распределения которого равна Р(Х), а Q(X,C) – для каждой реализации Х случайный функционал, математическое ожидание которого равно I(C).

То есть, иначе: I(C) = M{Q(X,C)}.

Условие экстремума в этом случае: ÑI(C) = MXC×Q(X,C)} = 0.

Неполнота априорной информации, состоящая в том, что заранее неизвестно ни отношения правдоподобия, ни априорные вероятности, является серьезным препятствием для применения классических подходов, например, Байесова. Именно в этих случаях обучающиеся системы способны после некоторого периода обучения выработать решающее правило и произвести распознавание или классификацию. Незнание здесь преодолевается обучением. Чем меньше априорная информация, тем больше времени необходимо для обучения. Это – плата за незнание.

Различают два вида обучения:

- с поощрением;

- без поощрения (самообучение).

 

Обучение с поощрением (с учителем)

 

Для построения решающего правила необходимо прежде всего сформулировать критерий качества распознавания. Решающее правило должно быть выбрано таким образом, чтобы сформулированный критерий достигал экстремума.

Предположим, что ситуация Х появляется случайно и каждая из возникающих ситуаций принадлежит к одному из m неизвестных ранее классов Qi(i=1,…,m).

Обозначим через Х пространство ситуаций и разобьем его на m областей. Задача распознавания состоит в наилучшем разбиении пространства Х на области Qi. Чтобы конкретизировать это понятие, введем функцию потерь:

Fi(X, ), i=1,..,m,

где = (C1,…,Cm) – составной вектор параметров.

Функции потерь характеризуют потери, возникающие при отнесении ситуации класса Q0i к классу Q0k или, иначе, при попадании ситуации класса Q0i в область Q0k.

Функции потерь образуют платежную матрицу:

 

 

F11(x, ) F12(x, ) … F1m(x, )

F21(x, ) F22(x, ) … F2m(x, )


Fm1(x, ) Fm2(x, ) … Fmm(x, )

 

По главной диагонали матрицы расположены потери при правильных решениях, а по обеим сторонам от главной диагонали – потери при ошибочных решениях.

Если Fmm(x, )<0, то такие отрицательные потери можно рассматривать как выигрыши при правильном решении.

Ситуация Х каждого класса Qi характеризуется условной плотностью распределения P(x/Qi) = Pi(X) и априорной вероятностью P(Qi). Потому качество распознавания можно оценивать средним риском:

Средний риск в нашем случае представляет собой функционал границ Lik между областями Xi и Xk и составного вектора .

P(X/Qi) P(Qi)

 

 

X

 

 

X

 

Рис. Формирование решающего правила

Особенность R: здесь функции потерь не постоянны, а зависят от ситуаций х и составного вектора параметров .

С этих позиций цель обучения:

- P(Qi) – неизвестно; P(X/Qi) – неизвестно;

- единственно, чем располагаем – то платежной матрицей, элементы

которой заданы с точностью до некоторых неизвестных векторных параметров .

Тогда цель: минимум неявно заданного среднего риска:

Начальный этап обучения характеризуется поиском алгоритмов оценки параметров {а}.

Определение: Задача оценки параметров, относящаяся к классическим задачам математической статистики, может быть решена различными способами. Рассмотрим два из них:

а) оценку по максимуму правдоподобия, при этом: значения параметров предполагаются фиксированными, но неизвестными.

При обучении с учителем известен индекс класса для каждого P(Qi)

 

Общая идея метода

 

Предположим, что множество выборки разбито на классы, так что получено m классов выборок Q1,…,Qm, выборки X1,…,Xm для каждого класса получены независимо и в соответствии с вероятностью P(X/Qi). Предполагается, что плотность P(X/Qi) задана в известной параметрической форме, и, следовательно, однозначно определяется вектором параметров . Можно получить, например, распределение P(X/Qi)~N(miI), в котором компоненты ai составлены из компонент mi и Ki. Тогда P(X/Qi) запишем как P(X/Qi,ai).

Задача состоит в использовании информации, получаемой из выборки, для удовлетворительной оценки векторов параметров {ai}. Для облегчения задачи предположим, что выборки, принадлежащие Xj, не содержат информации об ai, i¹j, т.е. предполагается функциональная независимость параметров, принадлежащих разным классам {Qi}.

В результате получается i отдельных задач, формулируемых следующим образом: на основании множества {X} независимо полученных выборок в соответствии с вероятностным законом P(X/a) оценить неизвестный параметрический вектор .

Предположим, что Х содержит n выборок: X = {x1,…,xn}, т.к. выборки получены независимо, имеем:

где P(X/a) – правдоподобие величины а относительно данного множества выборок.

Определение: Оценка по максимуму правдоподобия величины а есть такая , при которой P(X/a) максимальна.

Интуитивно это означает, что в некотором смысле такое значение величины а наилучшим образом соответствует реально наблюдаемым выборкам.

Для анализа удобнее использовать логарифм правдоподобия как монотонно возрастающую функцию, т.е. максимуму логарифма и максимуму правдоподобия соответствует одна и та же величина .

Если P(X/a) есть гладкая дифференцируемая функция а, то определяется посредством обычных методов дифференциального исчисления.

Пусть есть р – компонентный вектор = (а1,…,ар)Т, пусть Ñа – оператор градиента. Т.е.

Ñа = ,

и пусть (а) – функция логарифма правдоподобия.

, т.е.

и

Совокупность условий, необходимых для определения оценки по максимуму правдоподобия величины а, может быть получена, т.о. из решения системы р уравнений ÑаL=0:

ÑаL=0 для одного а

Случай многомерного N(m,s) при неизвестном m:

При том:

1)

2)

где к - ковариационная матрица.

Если отождествлять m и “a”, то оценка по максимуму правдоподобия для m должна удовлетворять уравнению:

После умножения на к и преобразования получим:

Этот результат весьма убедителен. Он свидетельствует о том, что оценки по максимуму правдоподобия при неизвестном среднем по совокупности в точности рана среднему арифметическому выборок – выборочному среднему.

Если представить “И” выборок, то выборочное среднее будет центром этого облака.

Таким образом, и в случае обучения по методу максимума правдоподобия неизвестное среднее (математическое ожидание) находится как выборочное среднее – максимально правдоподобное решение.

Случай многомерного N(m,s), когда неизвестны ни m, ни s. Эти неизвестные параметры образуют компоненты параметрического вектора .

Рассмотрим одномерный случай, приняв a1=m и a2=s2. Тогда имеем:

Тогда получим:

и

где и - оценки по максимуму правдоподобия соответствуют а1 и а2. После подстановки получим:

Для многомерного случая соответственно имеем:

Следствие: Таким образом, оценка по максимальному правдоподобию для среднего значения вектора – то выборочное среднее. А оценка по максимальному правдоподобию для ковариационной матрицы – это среднее арифметическое n матриц т.к. подлинная ковариационная матрица и есть ожидаемое значение матрицы (x-m)(x-m)T, то полученный результат также весьма естественен.

 

б) метод Байесовской классификации.

Несмотря на то, что результаты по Байесу и методу максимального правдоподобия оказываются весьма близкими, подход к решению по критерию Байеса различен (сильно отличаются).

Здесь параметры рассматриваются как случайные переменные с некоторым априорно заданным распределением. Исходя из результатов распределения выборок, это распределение преобразуют в апостериорную плотность, используемую для уточнения имеющегося представления об истинных значениях параметров.

В байесовском случае характерным следствием привлечения добавочных выборок является заострение формы функции апостериорной плотности, подъем ее вблизи истинных значений параметров. Это явление принято называть байесовским обучением.

Определение: Сущность байесовской классификации заложена в расчете апостериорных вероятностей P(Qi/X). Байесовское правило позволяет вычислить эти вероятности по априорным вероятностям P(Qi) и условным по классу распределениям P(X/Qi). Однако, как быть, если эти величины неизвестны?

Общий ответ: Лучшее, что можно сделать – то вычислить P(Qi/X), используя всю информацию, имеющеюся в распоряжении.

Часть информации – априорная, часть информации – в выборках.

Пусть имеется множество выборок {X}, тогда вычисляются апостериорные вероятности P(Qi/x,X). По этим вероятностям мы можем построить байесовский классификатор.

Согласно байесовскому правилу:

Это выражение означает, что мы можем использовать информацию, получаемую из выборок, для определения как условных по классу распределений, так и априорных вероятностей. Впредь полагаем, что истинные значения априорных вероятностей известны, так что P(Qi/X) = P(Qi). Кроме того, т.к. в данном случае мы имеем дело с наблюдаемыми значениями, то можно разделить выборки по классам в подмножеств x1,…,xm, причем выборки из Xi принадлежат Qi. Выборки из Xi не оказывают влияния на P(X/Qi,X), если i¹j. Отсюда вытекают два следствия:

1) можно иметь дело с каждым классом в отдельности, используя для

определения P(x/Qi,X) только выборки из Xi. Вместе с тем, что априорные вероятности известны, то следствие позволяет записать:

2) так как каждый класс может рассматриваться независимо, можно

отказаться от ненужных различий классов. По существу, здесь имеется m отдельных задач вида: требуется определить P(x/X), используя множество Х выборок, взятых независимо в соответствии с фиксированным, но неизвестным Р(Х). Это и составляет главную задачу байесовского обучения.

Предпосылка 1: Р(Х) неизвестно, но имеет известный параметрический вид. Выразим это утверждением что функция Р(Х/а) полностью известна.

Предпосылка 2: При байесовском подходе предполагается, что всю информацию до наблюдения выборок дает известная априорная плотность Р(а). Наблюдение выборок превращает ее в апостериорную плотность Р(а/х), которая, как можно предположить, имеет крутой подъем вблизи истинного “a”.

 

Обучение без учителя (самообучение)

 

До сих пор мы предполагали, что обучающие выборки, используемые для распознавания, были помечены, чтобы показать, к какой категории они принадлежат. Это – обучение с учителем.

Пусть имеется набор непомеченных выборок. Имеются три основных причины необходимости самообучения (работы с непомеченными выборками).

1) сбор и мечение большого количества выборочных образов требует

много средств и времени;

2) во многих практических задачах характеристики образов медленно

меняются во времени;

3) на ранних этапах исследования иногда бывает интересно получить

сведения о внутренней природе или структуре данных.

Первое предположение: пусть функциональный вид плотностей распределения известен, и, единственное, что надо узнать, то значение вектора неизвестных параметров. Формальное решение этой задачи оказывается почти идентичным задаче с учителем. Задача формулируется следующим образом:

1. Выборки производятся из известного числа m классов;

2. Априорные вероятности P(Qi) для каждого класса известны, i=1,2,…,m.

3. Вид условных по классам плотностей P(x/Qi,a) известен, i=1,…,m.

4. Единственное неизвестное – это значения m параметрических векторов a1,…,am.

Предполагается, что выборки получены выделением состояния природы

Qi с вероятностью P(Qi) и последующим выделением Х в соответствии с вероятностным законом P(x/Qi,a). Таким образом, функция плотности распределения выборок определяется как:

Р(Х/а) – плотность смеси. Условные плотности P(X/Qi,ai) называются плотностями компонент, а априорные вероятности P(Qi) – параметрами смеси.

Если мы знаем а, то можем разложить смесь на компоненты и задача решена. Однако, если несколько различных значений а могут дать одни и те же значения для Р(Х/а), то нет надежды получить единственное решение.

Эти рассмотрения приводят нам к следующему определению:

Определение: Плотность Р(Х/а) считается идентифицируемой, если а¹а/ следует, что существует х такой, что Р(х/а)¹Р(х/а/). Таким образом, самообучение значительно упрощается, если мы ограничиваемся идентифицируемыми смесями.

Для нормальной плотности:

Идентификация смеси имеет место, если P(Q1)¹P(Q2).

 








Дата добавления: 2016-01-20; просмотров: 919;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.04 сек.