Основные свойства функций
Функция с областью определения
называется четной (нечетной), если для любого
,
выполняется равенство:
.
Функция с областью определения
называется периодической, если существует действительное число
такое, что, если
и
, то
для любого .
Наименьшее из таких чисел называется периодом функции .
Например, функции являются периодическими с периодом
, а функции
- также периодические, но с периодом
.
Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве
, если для любых
из А таких, что
, выполняется неравенство
.
Функция возрастающая (убывающая) на множестве А называется монотонной на этом множестве.
Пусть - монотонная функция на множестве
и
- множество ее значений.
Функция с областью определения
называется обратной по отношению к функции
, если для любого
из
.
Из этого определения следует, что график обратной функции получается симметрированием графика данной функции
относительно биссектрисы 1го и 3го координатных углов.
Например, функций и
– взаимно-обратные.
Пусть - функция с областью определения
, а
- функция с областью определения
. Обозначим через
множество тех значений аргумента
, для которых
. Тогда говорят, что на множестве
определена сложная функция
.
Окрестностью точки называется всякий открытый интервал с центром в точке
;
- окрестностью точки
называется интервал
.
Пусть - функция с областью определения
. Точка
называется точкой максимума (минимума), если существует
-окрестность точки
такая, что для всех
из этой
-окрестности выполняются неравенства:
(от лат. maximum - наибольшее, minimum - наименьшее).
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума (от лат. extremum - крайнее), а значения функции
в этих точках - экстремумами функции.
В точках экстремума функция меняет область своего возрастания (убывания) на область убывания (возрастания), т.е. в окрестности точки максимума график функции - «холм», а в окрестности точки минимума - «впадина».
Наибольшим (наименьшим) значением функции в области
называется такое число
(число
), что для всех
из
. Если функция
задана на отрезке
и ее график в каждой внутренней точке имеет единственную касательную, то наибольшее (наименьшее) значение функции
на
есть максимальное (минимальное) из чисел
,
и значений функции во всех точках максимума (минимума) этой функции.
Дата добавления: 2015-11-28; просмотров: 861;