Математичні методи схемотехнічного моделювання

На схемотехнічному рівні вирішуються наступні задачі проектування:

- розрахунок статичних режимів;

- розрахунок перехідних процесів;

- розрахунок амплітудних і фазових характеристик у

частотній області;

- розрахунок коефіцієнтів параметричної чутливості;

- параметрична оптимізація;

- статистичний аналіз.

Перехідні процеси на cхемотехнічному рівні описуються звичайними диференціальними рівняннями ЗДР, які розв’язуються з використанням чисельних методів .

Однак є специфіка в одержанні ММС і її рішенні. Вона полягає в тому, що рівняння не одержують у вигляді ЗДР. Спочатку всі ємності й індуктивності в схемі заміняються їхніми дискретними моделями (рис.5.12), які одержують заміною похідних у компонентних рівняннях алгебраїчними аналогами відповідно до використовуваних неявних методів інтегрування. Цей етап перетворення ММС називається алгебраізацією.

Рисунок 5.12- Дискретні моделі ємності та індуктивності, що відповідають неявному методові Єйлера, де Un+1, In+1, Un, In – значення напруг та струмів в поточній часовій точці tn+1 та попередній – tn

Потім нелінійні компоненти схеми лінеаризуються на кроці інтегрування і тільки тоді формується лінійна система рівнянь, що відповідає ітерації методу Ньютона-Рафсона, і вирішується на ній методом Гаусса або LU- розкладання. Процес повторюється, поки ітерації не зійдуться до рішення. Для прискорення збіжності методу Ньютона-Рафсона використовується метод продовження по параметру (метод рухомої області збіжності).

На наступному кроці інтегрування процеси алгебраізації, лінеаризації і рішення ММС повторюються, поки не буде пройдений заданий час інтегрування.

При розрахунку статичного режиму ємності в схемі заміняються дуже великими опорами, а індуктивності – маленькими. Методи рішення нелінійних алгебраїчних рівнянь ті ж, що і при розрахунку перехідних процесів.

Для розрахунку частотних характеристик (амплітудно-частотної АЧХ та фазочастотної ФЧХ характеристик) ММС одержують у комплексній області.

АЧХ визначається як відношення

, де jω– комплексна частота.

Існують різні способи розрахунку АЧХ.

Моделювання АЧХ на ПК можна здійснити трьома методами: символьним, чисельно-символьним і чисельним.

Два перших методи засновані на обчисленні АЧХ як відношення

.

При символьному методі коефіцієнти a_i і b_i обчислюються у вигляді формул, а при чисельно-символьному – у вигляді чисел. Ці методи застосовуються при розрахунку АЧХ невеликих схем (10-30 компонентів), тому що зі збільшенням розміру схем обсяг обчислень швидко зростає.

Найбільше поширення одержав чисельний метод, коли АЧХ обчислюється як чисельне значення W(jω) при різних значеннях ω, тобто в кожній точці.

Розглянемо цей метод стосовно до базису вузлових потенціалів.

Рівняння в цьому базисі для розрахунку АЧХ формуються так само, як і для часової області, змінюються лише компонентні рівняння реактивних гілок, що приймають наступний вид:

Ic = jw*C*Uc ; IL = (- j / w*L)* UL.

Відповідно провідності реактивних гілок:

у = jw*C; у = - j / w*L.

Ці провідності використовуються при формуванні матриці провідностей схеми Y.

Якщо на i-му вході схеми стоїть синусоїдальне джерело одиничної амплітуди і нульової фази f_i = 1*Sinwt, то одержимо вузлове рівняння лінійної схеми в частотній області:

У(jw) *V( jw) = -J( jw),

де у векторі J( jw) складова відповідної вхідної гілки, дорівнює 1, а інші складові рівні 0.

Ця система складається з дійсної і уявної частин. Вирішуючи ці частини один раз методом Гаусса або LU -перетворення, одержуємо для k-того виходу передатну характеристику Wik на частоті w_i, як відповідно дійсну і уявну частини реакції схеми V_к на вплив одиничного джерела:

W_iк (jw_i) = V_к / f_i = Re V_к+ j ImV_к.

Звідси легко визначаються значення амплітудно-частотної, логарифмічної амплітудно-частотної і фазочастотної характеристик схеми:

W(wi) = ,

Wдб(wi) = 20 log W(wi),

arctg (ImVk( )/ReVk( )).

Таким чином, вирішивши рівняння схеми W_iк (jw_i) при частоті

w = w_i, можна визначити значення всіх схемних функцій для будь-якого входу схеми.

Аналіз чутливості. Такий аналіз зводиться до визначення коефіцієнтів чутливості вихідних параметрів y_i об'єкта, що моделюється, до зміни внутрішніх або зовнішніх параметрів p_j, тобто K_ij = Δy_i / Δp_j.

Найбільше просто аналіз чутливості виконується для аналітичних моделей об'єкта Y = F(p,X). Матриця чутливості визначається безпосереднім диференціюванням аналітичних виразів. Однак, у більшості випадків такі залежності в явному вигляді невідомі. Тому необхідно застосовувати чисельні методи аналізу чутливості. Найбільш універсальні з них:

- метод приростів,

- метод приєднаної схеми,

- метод моделей.

Метод приростів застосуємо для будь-яких способів одержання вихідних параметрів і заснований на обчисленні коефіцієнта чутливості К_jj як відношення зміни Δy_i і-го вихідного параметра до малого приросту Δp_j j-го внутрішнього параметра щодо його номінального значення при незмінних інших внутрішніх параметрів.

Для розрахунку чутливості і-го вихідного параметра y_i щодо всіх p_j (j = 1 – m) необхідно провести m+1 одноваріантних розрахунків. Складність цього методу полягає у визначенні приростів Δp_j при наявності нелінійностей у схемі. При великих Δp – велика методична похибка для нелінійних залежностей, при рисих Δp – сказується похибка округлення при обчисленні y_i. Точність можна підвищити задаючи p_j= p_jн Δp_j, тоді треба 2m обчислень. Через великий обсяг обчислень цей метод практично не застосовується в програмах СхМ.

Метод приєднаних схем дозволяє проводити розрахунок багатопараметричної чутливості як лінійних, так і нелінійних електронних схем, у статичному режимі, у часовій і частотній областях. При цьому за один цикл обчислень визначаються похідні однієї напруги (струму) по усім варіаційним параметрам схеми. Однак цей метод також вимагає значного обсягу обчислень.

Ідея методу моделей чутливості в тому, що функції чутливості визначаються як реакція деякої допоміжної схеми (моделі чутливості). Формально рівняння моделі чутливості можна одержати диференціюванням ММС по варіаційному параметру. Рівняння допоміжної схеми відрізняються від рівнянь вихідної схеми тільки вектором правих частин. Тоді задача визначення значень функцій чутливості в момент t = ti зводиться до рішення системи Ax=b_i з різними правими частинами b_i, отже, вимагає лише одного LU- перетворення матриці А схеми, що аналізується. За одне рішення визначається вплив одного параметра на усі виходи схеми. Для m варіаційних параметрів необхідно вирішити систему Ax= b_i з (m+1) правими частинами.

При оптимізаціїзастосовуються різні методи. Однак процедури оптимізації розроблені лише для вузького класу, переважно лінійних схем. Для нелінійних електронних схем градієнтна поверхня має гористий характер з безліччю локальних мінімумів і максимумів. Тому навіть сполучення градієнтних методів з методами випадкового пошуку не завжди приводять до позитивного результату. Багато в чому він залежить від знань, досвіду й інтуїції розроблювача. Тому в більшості випадків розроблювачі обмежуються введенням схеми в область працездатності, не використовуючи при цьому методи оптимізації, або використовуючи їх лише частково.

При статистичному аналізі застосовуються методи, побудовані на використанні функцій чутливості або методу Монте-Карло. Однак практично вони не застосовуються через відсутність даних по статистичним розкидами параметрів елементів і, насамперед, параметрів моделей.

Замість статистичного аналізу часто використовують метод гіршого випадку. Використовуючи коефіцієнти чутливості, відхиляють параметри убік збільшення або зменшення вихідного параметра і за результатами моделювання цих крайніх випадків судять про працездатність пристрою.

Що стосується синтезу електронних схем, то він використовується в основному для лінійних схем. Нелінійні схеми, як правило, синтезуються на основі бібліотек готових рішень, знань, досвіду й інтуїції розроблювача, тобто неформальними методами.