Задачи повышенной сложности

ЗАДАЧА 3.60. Найти показание ваттметра схемы рис. 3.60, если J = 10 A,

r₁= r₂=10 Ом, x₁= 20 Ом, x₂=10 Ом,

x_M =10 Ом, x₃= 20 Ом, x₄=10 Ом.

Ответ: P_W = 2000 Bт.

ЗАДАЧА3.61. В схеме рис. 3.61

u(t) = 120 sin(wt+45°) B, r₁= r₂= x_C = 60 Ом, x_L = 40 Ом, x_M = 20 Ом.

Определить мгновенное и действующее значение тока i₁.

Ответ: i₁(t ) = 2×sin(wt) A, I₁= A.

ЗАДАЧА 3.62. Мостовая схема рис. 3.62,а питается от источника синусоидального напряжения с действующим значением Е = 300 B.

Параметры схемы: r₁=10 Ом, x₁=15 Ом, r₂= 30 Ом, x₂= 20 Ом,

x_M₁₂ =13 Ом, x₃= 25 Ом, r₄=16 Ом, x₅= 40 Ом, x₆=12 Ом.

Используя топологические матрицы, сформировать систему расчётных уравнений для определения токов различными методами:

1) методом уравнений Кирхгофа;

2) методом контурных токов;

3) методом узловых потенциалов.

Рассчитать токи и проверить балансы мощностей.

Решение

Выбираем произвольные направления токов в ветвях схемы (указаны на рис. 3.62,а) и строим граф электрической цепи такой, чтобы индуктивно связанные ветви (первая и вторая) были ветвями связи. Такой граф приведен на рис. 3.62,б, в котором ветви № 3, 4, 5 являются ветвями дерева.

Примем комплекс Е = Е = 300 B. Комплексные сопротивления ветвей схемы: Z₁ = r₁+ jx₁= 10 + j15 Ом, Z₂ = r₂+ jx₂ = 30 + j20 Ом,

Z_M₁₂ = jx_M₁₂ = j13 Ом, Z₃ = –jx₃= –j25 Ом,

Z₄ = r₄= 16 Ом, Z₅ = jx₅= j40 Ом, Z₆ = jx₆= j12 Ом.

Составим матрицы:

- узловая матрица соединений ветвей при базисном узле №4, потенциал которого j ₄= 0,

[A]= ;

- матрица главных контуров [B]= ;

- матрица сопротивлений ветвей [Z_в]= ;

- столбцовая матрица ЭДС ветвей [E_в]= ;

- столбцовая матрица токов источников токов ветвей

[J_в]= ;

- столбцовая матрица неизвестных токов ветвей

[I_в]= ;

- столбцовая матрица напряжений ветвей

[U_в]= ;

- столбцовая матрица контурных токов (или токов ветвей связи)

[I_k]= [I_c]= ;

- столбцовая матрица потенциалов узлов [j]= .

Уравнения Кирхгофа

По первому закону Кирхгофа [A]×[I_в]=[0]. После перемножения матриц систему уравнений получаем в развёрнутом виде

I₁+ I₃– I₆ = 0;

-I₁+ I₄+ I₅ = 0; (1)

-I₂– I₄+ I₆ = 0.

Для записи системы уравнений по второму закону Кирхгофа используем следующую редакцию этого закона:

[B]×[Z_в]×[I_в] = [B]×{[E_в] - [Z_в]×[J_в]}.

После перемножения матриц получаем развёрнутую систему уравнений, составленную для исследуемой схемы по второму закону Кирхгофа: Z₁×I₁+ Z_M₁₂×I₂– Z₃×I₃+ Z₅×I₅= 0;

Z_M₁₂×I₁+ Z₂×I₂– Z₄×I₄+ Z₅×I₅= 0; (2)

Z₃×I₃+ Z₄×I₄– Z₅×I₅+ Z₆×I₆= E.

Отметим, что система шести уравнений (система (1) + система (2)) легко составляется по схеме без применения матриц.

Контурные уравнения

В матричной форме контурное уравнение имеет вид [Z_k]×[I_k] = [E_k], где контурные ЭДС [E_k] = [B]×{[E_в] - [Z_в]×[J_в]} представляют ту же столбцовую матрицу, которая приведена в системе (2) уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа.

Рассчитаем матрицу контурных сопротивлений [Z_k] = [B]×[Z_в]×[B]^T

путём перемножения матриц. Получаем симметричную относительно главной диагонали матрицу

[Z_k] = .

Система контурных уравнений в развёрнутом виде представляется системой (3):

(Z₁+Z₃+Z₅)×I₁+ (Z_M₁₂+Z₅)×I₂– (Z₃+Z₅)×I₆= 0;

(Z_M₁₂+Z₅)×I₁+ (Z₂+Z₄+Z₅)×I₂– (Z₄+Z₅)×I₆= 0; (3)

-(Z₃+Z₅)×I₁– (Z₄+Z₅)×I₂+ (Z₃+Z₄+Z₅+Z₆)×I₆= E.

Отметим, что эта система также может быть легко составлена по исходной схеме без применения матриц.

Узловые уравнения

В матричной форме узловые уравнения представляются соотношением

[Y_y]×[j] = [J_y],

матрица узловых токов [J_y] = [A]×{[J_в] - [Y_в]×[E_в]},

матрица проводимостей ветвей [Y_в]= [Z_в]^-1,

матрица узловых проводимостей [Y_y] = [A]×[Y_в]×[A]^T.

Рассчитаем матрицу проводимостей ветвей для рассматриваемого примера и обратную матрицу сопротивлений ветвей, при этом главный определитель матрицы сопротивлений ветвей D = (Z₁×Z₂-Z_M₁₂²)Z₃Z₄Z₅Z₆, а матрица

[Y_в]= × ,

где A_ij – алгебраические дополнения матрицы [Z_в]. В результате получаем

[Y_в]= .

Находим матрицу узловых токов [J_y] = -[A]×[Y_в]×[E_в]= .

Рассчитаем матрицу узловых проводимостей

[Y_y] = [A]×[Y_в]×[A]^T=

= .

В развёрнутом виде система узловых уравнений представляет систему (4):

j ₁× – j ₂× – j ₃× = ;

-j ₁× + j ₂× – j ₃× = 0;

-j ₁× – j ₂× +

+ j ₃× = - . (4)

Очевидно, что эту систему уравнений вручную (без матриц) по исходной схеме составить невозможно.

Для приведенной мостовой схемы контурные уравнения (3) и узловые уравнения (4) включают по три уравнения и требуют одинакового объёма работы для их решения.

Решение контурных уравнений (3), которые после подстановки чисел представляются системой

(10+j30)×I₁+ j53×I₂– j15×I₆= 0;