Пропускная способность непрерывного канала связи с шумами

Информация о непрерывном сигнале s(t), получаемая из принимаемой смеси сигнала и шума y(t) = s(t) + n(x)

I(Y, S) = H(Y) – H(Y/S). (2.21)

Так как сигнал и шум статистически независимы, энтропия равна энтропии шума (как случайной величины, сигнал детерминирован и энтропия от него H(S)=0)

H(Y/S) = H(n)

И тогда

I(Y, S) = H(Y) – H(n). (2.22)

Входной сигнал ограничим по полосе пропускания и определим отсчеты по Котельникову (отсчеты независимы и некоррелированы)

Количество информации о текущем значении передаваемого сигнала s(t), вносимое дискретным отсчетом принимаемого сигнала y(t), может быть представлено разностью энтропий (приведенных, т.к. процесс непрерывный):

I(Y, S) = H^*(Y) – H^*(n);

Отсчеты y(t) = s(t) + n(t) распределены по Гауссу с дисперсией .

(2.23)

Скорость передачи информации – это количество информации в единицу времени, т.е.

т.к. ; , и окончательно (формула Шеннона):

(2.24)

Если Р_s/Р_ш → 0, то С → 0.

Величину (1 + Р_s/Р_ш) – характеризует количество уровней непрерывного сигнала, различимых на фоне шума при данном отношении Р_s/Р_ш. Поэтому количество информации, приходящееся на 1 отсчет, будет в данном случае таким же, как для дискретного источника с числом состояний
(1 + Р_s/Р_ш).

Казалось бы, что можно увеличить скорость передачи информации с увеличением полосы ΔF. Исследуем это предположение.

Преобразуем полученные выражения:

Р_ш = N₀ × ΔF,

тогда

С = ΔF × log₂(1 + Р_s / N₀ × ΔF).

Устремим ΔF → ∞ и раскроем неопределенность

. (2.25)

Пропускная способность стремится к const.

, т.к. log₂e = 1,443

Скорость передачи информации С стремится к const, определяемой отношением средней мощности сигнала P_s к спектральной плотности шума.

Т.е. обмен мощности сигнала на полосу пропускания для обеспечения заданной пропускной способности непрерывного канала возможен в небольших границах, за которыми дальнейшее расширение полосы пропускания дает уже малый эффект.

Как следует из С_∞, для передачи заданного количества информации по каналу с шумом отношение энергии сигнала к спектральной плотности шума h² = P_sT / N₀ (I = C × Т – на время сигнала) должно превышать некоторую пороговую величину. В самом деле, если на передачу сообщения затрачено время ΔТ, то среднее количество переданной информации,
I(Y,S) ≤ TC_∞, т.к. пропускная способность канала при любой полосе ∆F не может превзойти предельное значение (∆F → ∞). Таким образом,
I(Y,S) ≤ (P_sT/N₀)log₂e и, следовательно, для передачи 1 бита информации необходима энергия сигнала .

. (2.26)

Максимальный объем информации, которую можно в среднем передать по непрерывному каналу за время Т_к: V = Т_к × С, т.е. для Гаусова канала

V_к = Т_к × F_к × log₂(1 + ).

Если принять, что P_s/P_ш >> 1 и единицей пренебречь

V_к = Т_к × F_к × log₂( ) = Т_к × F_к × D_к. (2.27)

где V_к – емкость канала;

D – динамический диапазон (в логарифмах).

Объем сигнала

V_с = Т_с × F_с × D_с. (2.28)

Неискаженная передача возможна только при условии

V_с ≤ V_к.

Рис. 2.3.

Важно передавать "объем" сигнала, а не его форму. Это дает возможность "трансформировать" объем. Например, уменьшение полосы частот (ΔF) должно приводить к увеличению времени (Т_к) для сохранения объема или к увеличению D_к – динамического диапазона, и наоборот.

Сравним пропускные способности дискретного и непрерывного каналов.

Для непрерывного канала: