Графические методы аппроксимации.
В некоторых частных случаях можно подобрать эмпирическую формулу, описывающую результаты эксперимента, непосредственно по графику у=f(х). Для этого на графике в прямоугольной системе координат откладывают точки с координатами хi и yi , где хi и yi - значения соответственно входного и выходного параметров технологического процесса в каждом измерении. По этим точкам строят график функции, которая наилучшим образом описывает результаты эксперимента. При этом пользуются следующими правилами:
- число точек над и под кривой должно быть примерно одинаковым;
- по мере возрастания “Х” точки должны по возможности поочередно появляться над и под кривой построенной кривой для точек, расположенных сверху от нее, должна быть примерно равна сумме отклонений нижних точек.
Соблюдая, по возможности, эти правила и сообразуясь с предполагаемым видом зависимости, нужно от руки провести кривую и найти ее уравнение.
Построение графика прямой линии.
Уравнение прямой, выходящей из начала координат, имеет вид:
у=а*х,
где а- коэффициент, характеризующий наклон прямой.
Можно условно считать, что построенная от руки прямая выходит из какой-то точки с координатами (х1,у1), взятой произвольно в левой части прямой. Смещение начала координат в эту точку фиксируется следующим образом:
у-у1=а*(х-х1)
Выбрав в правой части прямой любую точку с координатами (х2,у2) и подставив из в это уравнение, получим:
у2-у1=а*(х2-х1)
откуда: а = (у2-у1)/(х2-х1).
После окончательного преобразования имеем:
у=у1+(у2-у1)*(х-х1)/(х2-х1).
Достаточно подставить численные значения х1, х2, у1, у2, чтобы получить уравнение прямой. Значения х1, х2, у1, у2 можно выбрать из экспериментальных значений, которые лежат на прямой линии (рис.1)
у1
у2
х1 х2
Рис.1 Построение графика прямой линии
Построение графика параболы.
у=а*х2
Парабола является экстремальной функцией и имеет минимум, если а>0, и максимум, если а<0.
Главное при обработке экспериментальных данных по параболическому закону - выделить фрагмент параболы на графике и достроить ее до экстремума (рис.2). После того, как найдено положение экстремума нужно зафиксировать его координаты (х1,у1) и ввести в уравнение параболы со смещенным началом координат.
у-у1=а*(х-х1)2
Затем нужно выбрать вторую точку с координатами (х2,у2) примерно посередине участка ветви, проходящей через экспериментальные точки, и подставить все четыре числа в окончательное уравнение
у=у1+(у2-у1)*(х-х1)2/(х2-х1)2
у у
у1
у2 у2
у1
х х
х1 х2 х1 х2
Рис. 2. Построение графика параболы.
Построение графика кубической параболы.
у=а*х3
Этот график представляет собой кривую с перегибом, который принимается в рассматриваемом методе за условное начало координат (х1,у1) (рис.3). Тогда уравнение кубической параболы со смещенным началом координат запишется в виде
у-у1=а*(х-х1)3
Вторая точка с координатами (х2,у2) выбирается примерно посередине участка ветви, проходящей через экспериментальные точки. Окончательно уравнение для построения кубической параболы запишется в виде:
у=у1+(у2-у1)*(х-х1)3/(х2-х1)3
у у
у2
а>0 у2 а<0
у1 у1
х1 х2 х2 х1 х
Рис.3 Построение графика кубической параболы.
Построение графика обращенной кубической параболы
(“сигмоиды”)
у=а* 3 х
График этой функции также представляет собой кривую с перегибом, но имеет тенденцию к насыщению (рис.4)
у у
у1
а>0 а>0
у2
у2 у1
х2 х1 х х2 х1 х
Рис.4.Построение графика кубической параболы.
Определив координаты точки перегиба (х1,у1) и точки посередине ветви (х2,у2) можно получить эмпирическую зависимость
у=у1+(у2-у1)*3Ö(х-х1)/3Ö(х2-х1)
Дата добавления: 2016-01-16; просмотров: 805;