Формулы и законы логики высказываний

Логической формулой, или формулой логики высказываний называется предложение, составленное из элементарных (простых) высказываний (А, В, С, … X, Y, Z), знаков логических операций (, , , , ó) и скобок.

Для того, чтобы из из высказывания получить формулу, надо:

1) выделить все элементарные высказывания и логические операции, образующие данное составное высказывание;

2) заменить их соответствующими буквами и символами;

3) расставить скобки в соответствии со смыслом данного высказывания.

Пример:

Дано предложение: “Если человек доброжелателен и контактен, то с ним легко общаться”. Обозначим: А – “Человек является доброжелательным”, В – “Человек является контактным”, С – “С человеком легко общаться”. Формула будет такой: (A B) С

Логические операции выполняются в следующей последовательности: , , , , ó. Это позволяет упрощать запись, избавляясь от лишних скобок. Например, вместо формулы

((A B) ( В)) ( ) можно записать A B В .

Способ “вычисления истинности” логических формул – построение таблицы истинности.

Пример:

Построить таблицу истинности для формулы В.

Таблица 2.6

А	В				В
и	и	л	л	л	и
и	л	л	и	и	л
л	и	и	л	и	и
л	л	и	и	и	л

Если формула содержит три переменных, то для нее будет 8 различных наборов значений истинности. Если в формуле п переменных, то различных наборов значений истинности будет 2^п.^.

Две логические формулы называются равносильными, если их таблицы истинности совпадают.

В логике высказываний существуют следующие равносильности или законы логики, связанные с законами мышления:

I. А А – закон тождества.

II. A Л – закон противорчия

III. A И – закон исключенного третьего

IV. А – снятие отрицания

V. A А А; A А А

VI. A В В А; A В В А – коммутативность

VII. (A В) С= А (В С); (A В) С= А (В С) – ассоциативность

VIII. А (B C) (A B) (A C);A (B C) (A B) (A C)–дистрибутивность

IX. ; – законы Де Моргана

X. A И А; A Л А

XI. A Л Л; A И И

XII. А (A В) А; A (A В) А

XIII. (A В) ( В) В; (A В) ( В) В

XIV. А B В; А B – замена импликации

Доказать эти законы можно с помощью таблиц истинности.

Логическая формула называется тождественно истинной или тавтологией, если она принимает только значение “и” при любом наборе значений истинности входящих в нее переменных.

Логическая формула называется тождественно ложной, или противоречием, если она принимает только значение “л” при любом наборе значений истинности входящих в нее переменных.

Тождественно истинные и тождественно ложные формулы играют важную роль в математической логике, так как являются моделями для многих задач. Так, тождественно истинные формулы используются при построении логических выводов одних утверждений из других, тождественно ложные – при анализе совместности утверждений. Аксиомы, теоремы, статьи законодательства – примеры тождественно истинных высказываний.

Логика является незаменимой в психологических иследованиях, где проводится оценка выдвигаемых гипотез (предположений) на предмет их истинности или ложности, которая осуществляется на основе статистических критериев.

Глава 3