Высказывания и операции над ними

Повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно, называется высказыванием.

Обозначаются высказывания большими буквами латинского алфавита: А, В, С, … X, Y, Z. Высказывания бывают истинными (и) или ложными (л).

Предложение с одной или несколькими переменными, которое преобразуется в высказывание при подстановке вместо всех переменных их значений, называется предикатом.

Отрицанием высказывания А называется высказывание (А) – “не А”, которое является истинным тогда, когда высказывание А ложно, а ложным – тогда, когда А истинно.

Набор всевозможных значений истинности для А и отражает таблица 2.1, называемая таблицей истинности.

Таблица 2.1

A
И	Л	И
Л	И	Л

Отрицание любого высказывания можно построить с помощью слов:

“неверно, что” . Поскольку А – высказывание, то можно построить его отрицание – двойное отрицание. Очевидно, что А= (см. табл. 2.1).

Конъюнкцией двух высказываний А и В называется составное высказывание A B (А&В) – “А и В”, которое истинно в том, и только в том случае, когда оба высказывания А и В истинны. Набор всевозможных значений истинности конъюнкции показан в таблице 2.2:

Таблица 2.2

A	B	A B
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется составное высказывание AvB – “А или В” , которое является истинным тогда, когда хотя бы одно из высказываний А или В истинно. Таблица истинности дизъюнкции – табл. 2.3

Таблица 2.3

Импликацией двух высказываний А и В называют составное высказывание А В (А→В) “если А, то В”, которое ложно тогда и только тогда, когда первое высказывание, т.е. А, истинно, а В ложно. Таблица истинности импликации – табл. 2.4

Таблица 2.4

A	B	A B
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

Эквиваленцией двух высказываний А и В называется составное высказывание AóB (А↔В) – “А тогда и только тогда, когда В”, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо истинны, либо ложны. Таблица истинности эквиваленции – табл. 2.5

Таблица 2.5

Следует сделать оговорку, что логические операции не учитывают смысл высказываний; они рассматриваются как объекты, обладающие единственным свойством – быть истинными и ложными.

Примеры:

1. Высказывание А: “Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина был основан в 1945 году”; высказывание : “Неверно, что Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина был основан в 1945 году ”.

2. Высказывание В: “Треугольник АВС прямоугольный”; высказывание : “Неверно, что треугольник АВС прмоугольный”, т.е. “Треугольник АВС – тупоугольный или остроугольный”.

3. Высказывание А: “Студент добросовестно готовился к экзамену”, высказывание В: “Студент сдал экзамен блестяще”, высказывание A B: “Студент добросовестно готовился к экзамену и сдал его блестяще”.

4. A B: «Число 30 двузначное и четное ”.

5. Высказывание А: “Фестиваль “Славянский базар” проводится в Витебске”, высказывание В: “Брест – самый западный город Беларуси”, Высказывание A B: “ Славянский базар” проводится в Витебске или Брест – самый западный город Беларуси”.

6. A B: “13≤23”.

7. А B: “Если число 30 двузначное, то оно четное ”.

8. Высказывание А: “Треугольник АВС является прямоугольным”, высказывание В: “Квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон”, высказывание AóB: “Треугольник АВС является прямоугольным тогда и только тогда, когда квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон”.

9. AóB: “Стать хорошим психологом можно тогда и только тогда, когда овладеешь математическими методами”.