Закон распределения системы случайных величин
На практике часто сталкиваемся с ситуацией, когда результат опыта описывается несколькими случайными величинами. Например, при стрельбе по плоской мишени, отклонение от центра задается двумя случайными величинами: абсциссой и ординатой точки . Свойства системы не исчерпываются свойствами отдельных случайных величин, есть еще взаимные связи (зависимости) между случайными величинами. Для описания системы удобно использовать геометрическую интерпретацию: случайный вектор.
Закон распределения системы случайных величин – это соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений случайных величин и вероятностями появления случайного вектора в этих областях.
Определение.Функцией распределения случайного вектора или функцией совместного распределения случайных величин называется функция двух действительных переменных , определяемая соотношением:
.
Обозначим через:
- функцию распределения системы ;
- функцию распределения случайной величины ;
- функцию распределения случайной величины .
Функция распределения обладает следующими свойствами:
1. .
2. .
3. .
4.Функция - неубывающая функция по каждому из аргументов.
5.Функция непрерывна слева по каждому из аргументов.
Свойство 2 обычно называют условием согласованности. Оно означает, что функции распределения отдельных случайных величин могут быть найдены предельным переходом из функции совместного распределения этих величин.
Вероятность попадания случайного вектора в прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, т.е. вероятность выполнения неравенств , может быть найдена с помощью функции распределения системы:
.
Определение.Случайный вектор называется вектором дискретного типа, если множество его значений, т.е. пар , конечное или счетное. Если перечислить всевозможные пары значений случайного вектора и сопоставить каждой паре вероятность , причем , то получим закон распределения дискретного случайного вектора.
Законы распределения случайных величин и выражаются через вероятности следующим образом:
Определение.Случайный вектор называется вектором непрерывного типа, если функция распределения непрерывна на всей плоскости, и существует такая неотрицательная, интегрируемая функция , называемая плотностью распределения системы, что
.
Свойства плотности распределения системы непрерывных случайных величин:
1. .
2. (условие нормировки).
3.Если - точка непрерывности , то .
4. Плотности распределения вероятностей отдельных компонент случайного вектора выражаются в виде интегралов от совместной плотности:
.
5.Вероятность попадания случайного вектора в произвольную квадрируемую область В на плоскости определяется по формуле:
.
Дата добавления: 2016-01-09; просмотров: 795;