Отношение сходства и различия

Симметричные и рефлексивные нечеткие отношения сходства является аналогом отношения сходства или толерантности. Нечеткие отношения сходства обычно задаются в виде матрицы, при этом элементы этих матриц могут быть получены двумя способами:

1. Путем измерения некоторого физического параметра отражающего связь между объектами.

2. Путем опроса экспертов, эксперты для каждой пары объектов из универсума указывают их степень сходства в некоторой шкале, градациями которой могут быть значения терм – множества лингвистической переменной сходства.

Условия транзитивности для нечетких отношений сходства записывается в следующем виде:

S _º S S , при этом в случае когда операция композиции отношений записывается в следующем виде:

(R _º S)(x, y)= (R(x, z) S(z, y))= sup {min (R(x, z), S(z, y))},

z Z z Z

то это условие транзитивности может быть переписано следующим образом:

S(x, y)≥ S(x, z) S(z, y), x, y, z X

Данный вид транзитивности обозначается как ( ) – транзитивность.

Если L=[0, 1] и операцию заменить на _º (произведение), то условие транзитивности записывается в следующем виде:

m_S(x, y)≥ m_S(x, z) _º m_S(z, y) и обозначается (_º) – транзитивность.

Если L=[0, M], M< и операция , то условие транзитивности записывается в следующем виде:

c d=(c+d-M) 0, c, d [0, M] и обозначается ( ) – транзитивность.

В этом случае для нечетких отношений условие транзитивности можно записать таким образом:

S(x, y)≥S(x, z) S(z, y), x, y, z X

Наибольшее применение находит ( ) – транзитивность. Она является аналогом обычного отношения эквивалентности и называется нечетким отношением эквивалентности или подобия.

Любой α – уровень нечеткого отношения эквивалентности является обычным отношением эквивалентности. Как известно обычное отношение эквивалентности разбивает все множество объектов на непересекающиеся классы эквивалентности.

Перейдем к рассмотрению симметричных и антирефлексивных нечетких отношений, называемых отношением различия D.

Мы зафиксировали, что отношение D является двойственным отношением сходства S.

В этом случае, когда L=[0, M], D(x, y)=M-S(x, y)

L=[0, 1], m_D(x, y)=1 - m_S(x, y)

В общем виде: D=┐S(Š)

Отношение различия удовлетворяют неравенству треугольника:

D(x, y)≥ D(x, z)+D(z, y), x, y, z X

называется метрикой и обозначается как (+) – транзитивность.

Данное отношение различия является двойственным ( ) – транзитивному отношению сходства.