Линейный гармонический осциллятор.

При достаточно малых отклонениях от положения равновесия колебания являются гармоническими, так что потенциальная энергия колебаний равна (рис.2.11):

. (2.38)

При больших отклонениях формула (2.38) теряет силу, так как в этом случае становятся существенными эффекты ангармонизма. Модельный характер рассматриваемой задачи состоит в том, что этими эффектами пренебрегают. Согласно (2.38), значения могут быть бесконечно большими. Это значит, что

Рис.2.11 для волновой функции необходимо выбирать естественное граничное условие:

при . (2.39)

Обозначая и вводя также обозначения:

, (2.39a)

запишем уравнение Шредингера (2.11) с потенциальной энергией (2.38) в виде:

. (2.40)

Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию (2.39), ищут в виде:

, (2.41)

где функцию необходимо найти. Подставляя (2.41) в (2.40), получаем уравнение

. (2.42)

Решение уравнений такого типа ищут в виде ряда

, (2.42a)

где – постоянные коэффициенты. После дифференцирования (2.42а) и подстановки в (2.42) необходимо далее приравнять коэффициенты при одинаковых степенях . Так можно получить рекуррентное соотношение между коэффициентами :

. (2.42б)

Анализ сходимости бесконечного ряда (2.42а) с коэффициентами (2.42б) показывает, что этот ряд расходится, растет быстрее, чем . Это значит, что волновая функция (2.41) также расходится. Это противоречит естественному граничному условию. Для существования волновой функции, убывающей при бесконечно больших значениях аргумента, необходимо потребовать, чтобы функция в (2.42а) представляла собой не бесконечный ряд, а полином степени . Тогда функция (2.41) будет убывать при . Итак, допустим, что ряд (2.42а) является полиномом степени . В этом случае отличны от нуля коэффициенты , а все другие коэффициенты должны обращаться в нуль. Для этого согласно (2.42б) необходимо, чтобы выполнялось условие . Отсюда, учитывая обозначения (2.39а), получаем формулу для энергетического спектра гармонического осциллятора

.(2.43)

Квантование энергии здесь автоматически возникает в результате требования ограниченности и естественного убывания волновой функции на бесконечности. Формула (2.43) принципиально отличается от постулированной Планком формулы для энергии осциллятора. По Планку энергия осциллятора в основном состоянии равна нулю. Согласно же (2.43) в основном состоянии энергия . Это энергия нулевых колебаний.

Значениям энергии (2.43) отвечают собственные функции

. (2.44)

Полиномы , удовлетворяющие уравнению (2.42), называются полиномами Чебышева–Эрмита. Их обозначают как :

. (2.44a)

Здесь – постоянная нормировки. Полиномы Чебышева–Эрмита определяются формулой:

. (2.44б)

Из условия нормировки следует .

Плотность вероятности найти квантовый осциллятор в -ом состоянии в интервале от до равна:

. (2.45)

В качестве классического осциллятора рассмотрим математический маятник – материальную точку, колеблющуюся около положения равновесия. Вероятность пребывания этой точки вблизи некоторого положения определяется относительным временем пребывания к периоду колебаний: , где v – cкорость точки. Отсюда видно, что плотность вероятностей для классического осциллятора обратно пропорциональна его скорости:

. (2.45а)

Здесь . Сопоставим классическую и квантовую плотности вероятностей, изображая пунктирной кривой (рис.2.12–2.15). Основное состояние: , .

Рис.2.12 Рис.2.13

Как видно из рис.2.12, в этом случае квантовая и классическая вероятности не имеют между собой ничего общего. Для классического осциллятора движение происходит в ограниченной области . Квантовый осциллятор может находиться и в «запрещенной» области. Для классического осциллятора наиболее вероятно найти его на концах допустимой области, тогда как для квантового осциллятора максимум вероятности приходится на середину области. Характер зависимости вероятностей в возбужденных состояниях изображен на рис.2.13 – 2.15.

Рис.2.14

В возбужденных состояниях квантовые и классические вероятности также отличаются друг от друга. Однако с увеличением квантового числа количество максимумов квантовых вероятностей возрастает, и в пределе очень больших чисел огибающая максимумов повторяет характер классической кривой вероятности (рис.2.15).

Рис.2.15 В этом проявляется принцип соответствия.

Вернемся к основному состоянию. Наличие энергии нулевых колебаний связано с неуничтожимостью движения. Это принципиально отражается в соотношении неопределенностей Гейзенберга. В самом деле, если бы в основном состоянии осциллятора его энергия была бы равна нулю, то это означало бы, что частица покоится, т.е. ее импульс равен нулю. Но тогда одновременно можно было бы точно определить также положение частицы, что противоречит соотношению неопределенностей.