ГАРМОНИЧЕСКИЙ ТОК В ЕМКОСТИ

При прохождении гармонического тока i = I_mcosωt через электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных элементов R, L, С (рисунок 2.13), на зажимах этой цепи создается гармоническое напряжение, равное алгебраической сумме гармонических напряжений на отдельных элементах (второй закон Кирхгофа):

и = u_R+ и_L+ u_C.

Напряжение u_Rна сопротивлении R совпадает по фазе с током i, напряжение u_Lна индуктивности L опережает, а напряжение и_Cна емкости С отстает от i на p/2 (рисунок 2.14).

Следовательно, напряжение и на зажимах всей цепи равно:

u = U_mcos(ωt + j) = RI_mcosωt + wLI_mcos(ωt + ) +

+ I_mcos(ωt- ) = RI_mcosωt+(wL- )I_mcos(ωt+ )(2.15)

Уравнение (2.15) представляет тригонометрическую форму записи второго закона Кирхгофа для мгновенных значений напряжений. Входящая в него величина Х =Х_L- Х_C= ωL - называется реактивным сопротивлением цепи, которое в зависимости от знака может иметь индуктивный (Х > 0) или емкостный (Х < 0) характер. В отличие от реактивного сопротивления Х активное сопротивление R всегда положительно.

Для нахождения U и φ воспользуемся векторной диаграммой, соответствующей уравнению (2.15). На рисунке 2.15, а показан случай, когда Х > 0, и на рисунке 2.15, б случай; когда Х < 0.

Падение напряжения от тока в активном и реактивном сопротивлениях изображается катетами прямоугольного треугольника напряжения 0аb, гипотенуза которого изображает напряжение на зажимах цепи. Отсюда

U =

или .I

Полученное выражение показывает, что действующие значения (так же, как и амплитуды) напряжения на зажимах цепи и тока, проходящего через данную цепь, связаны соотношением, аналогичным закону Ома:

U = zI; U_m = zI_m^,

где величина z = (2.16)

называется полным сопротивлением рассматриваемой цепи.

Активное, реактивное и полное сопротивления относятся к числу основных понятий, применяемых в теории электрических цепей. Из векторных диаграмм следует, что угол фазового сдвига тока i относительно напряжения и равен:

. (2.17)

Если задано напряжение u = U_mcos(ωt+y) на зажимах цепи с последовательно соединенными R, L и С, то ток определяется по формуле i = cos(ωt+y-j)Угол φ, равный разности начальных фаз напряжения и тока, отсчитывается по оси ωt в направлении от напряжения к току и является углом острым., прямым или равным нулю |j| .

Угол j положителен при индуктивном характере цепи, т.е. при Х > 0; при этом ток отстает по фазе от напряжения, и φ отсчитывается в положительном направлении: на временной диаграмме вправо от напряжения к току (рисунок 2.16, а), а на векторной диаграмме против хода часовой стрелки от тока к напряжению U (рисунок 2.15, а).

Угол j отрицателен при емкостном характере цепи, т.е. при X < 0,при этом ток опережает по фазе напряжение, и φ отсчитывается в отрицательном направлении: на временной диаграмме влево от напряжения к току (рисунок 2.16, б), а на векторной диаграмме - по ходу часовой стрелки от тока I к напряжению U (рисунок 2.15, б).

Итак, следует всегда помнить, что угол j положителен при отстающем и отрицателен при опережающем токе. На временной диаграмме угол отсчитывается от напряжения к току, а на векторной диаграмме - от тока к напряжению.

Ток совпадает с напряжением по фазе при X = X_L - x_C= 0, т.е. при равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений. Такой режим работы электрической цепи называется резонансом напряжений (гл. 7).

Из выражений (2.16) и (2.17) следует, что активное и реактивное сопротивления цепи связаны с полным сопротивлением формулами:

R = zcosj; x = zsinj. (2.18)

Умножив правые и левые части выражений (2.18) на действующее значение токаI, получим действующие значения напряжений на активном и реактивном сопротивлениях, изображаемые катетами треугольника напряжений и называемые активной и реактивной составляющими напряжения:

U_a = RI = zcosj_I = Ucosj,

U_p = XI = zsinj_I = Usinj. (2.19)

Мгновенные значения напряжений на активном и реактивном сопротивлениях, суммирующиеся алгебраически в соответствии с (2.15), имеют фазовый сдвиг p/2. Поэтому непосредственное сложение действующих значений этих функций не дает действующего значения напряжения на всей цепи; как видно из треугольника напряжений и уравнений (2.19), активная и реактивная составляющие напряжения связаны с действующим значением суммарного напряжения формулой

U = .

Если все стороны треугольника напряжений разделить на I, то получится прямоугольный треугольник сопротивлений, подобный треугольнику напряжений (рисунок 2.17, а, б).

Треугольник сопротивлений представляет геометрическую интерпретацию уравнений (2.16) и (2.17). Его положение не зависит от начальных фаз напряжения и и тока i: сопротивление R откладывается по горизонтальной оси вправо (в положительном направлении), а реактивное сопротивление X в зависимости от его знака откладывается вверх (X > 0) или вниз (X < 0). Угол j в треугольнике сопротивлений отсчитывается от катета R к гипотенузе z, что соответствует отсчету в треугольнике напряжений от Uа = RI к U = zI.

Для характеристики индуктивных катушек, представляемых цепью с последовательным соединением активного и индуктивного сопротивлений, пользуются понятием добротности катушки Q_L= X_L/R, которое равнозначно тангенсу угла сдвига фаз j для катушки. Чем меньше сопротивление R, тем выше при прочих равных условиях добротность катушки.

Добротность индуктивных катушек, применяемых в диапазоне частот от 1 кГц до 100 МГц, обычно составляет Q_L= 50…500.

2.9. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕR, L, С

Если к зажимам электрической цепи, состоящей из параллельно соединенных элементов R, L, С (рисунок 2.18), приложено гармоническое напряжение u = U_mcosωt, то гармонический ток, проходящий через эту цепь, равен алгебраической сумме гармонических токов в параллельных ветвях (первый закон Кирхгофа): i = i_R+ i_L+ i_C.

Ток i_Rв сопротивлении R совпадает по фазе с напряжением и, ток i_Lв индуктивности L отстает, а ток i_Cв емкости С опережает напряжение на p/2 (рисунок 2.19).

Следовательно, суммарный ток i в цепи равен

i = I_mcos(ωt - j) = U_mcosωt + U_mcos(ωt - ) +

+ ωСU_mcos(ωt + ) = U_mcosωt + ( - ωC)U_mcos(ωt - ).(2.20)

Уравнение (2.20) представляет собой тригонометрическую форму записи первого закона Кирхгофа для мгновенных значений токов. Входящая в него величина b = b_L - b_C = - wC называется реактивной проводимостью цепи, которая в зависимости от знака может иметь индуктивный (b > 0) или емкостный (b < 0) характер. В отличие от реактивной проводимости b активная проводимость g = l/R всегда положительна.

Для нахождения I_m и j воспользуемся векторной диаграммой, соответствующей уравнению (2.20) (рисунок 2.20, а и б). Прямоугольный треугольник с катетами I_R и [I_L+I_C] и гипотенузой I называется треугольником токов. Треугольник токов построен на рисунке 2.20, а для b >0, а на рисунке 2.20, б − для b < 0.

Из треугольника токов следует, что или I = yU; I_m=yU_m

Здесь (2.21)

полная проводимость рассматриваемой параллельной цепи.

Активная, реактивная и полная проводимости относятся к числу основных понятий, применяемых в теории электрических цепей.

Угол фазового сдвига тока i относительно напряжения и равен:

j = arctg = arctg . (2.22)

Если задано напряжение и = U_mcos(ωt + y) на зажимах цепи с параллельно соединенными R, L и С, то ток определяется по формуле

i = yU_mcos(ωt + y - j).

Угол j, как и в предыдущем случае, отсчитывается на временной диаграмме ωt от напряжения к току, а на векторной диаграмме - от тока к напряжению; он является острым или прямым углом

|j| .

Угол j положителен при индуктивном характере цепи, т.е. при b > 0; при этом ток отстает по .фазе от напряжения. Угол j отрицателен при емкостном характере цепи, т.е. при b < 0; при этом ток опережает по фазе напряжение. Ток совпадает с напряжением по фазе при b = b_R - b_C = 0, т.е. при равенстве индуктивной и емкостной проводимостей. Такой режим работы электрической цепи называется резонансом токов.

Из (2.21) и (2.22) следует, что активная и реактивная проводи­мости цепи связаны с полной проводимостью формулами:

g = ycosj; b = уsinj. (2.23)

Умножив правые и левые части выражений (2.23) на действующее значение напряжения U, получим действующие значения токов в ветвях с активной и реактивной проводимостями изображаемые катетами треугольника токов и называемые активной и реактивной составляющими тока:

Как видно из треугольников токов и уравнений (2.24), активная и реактивная составляющие тока связаны с действующим значением суммарного тока формулой

I = .

Разделив стороны треугольника токов на U, получим прямоугольный треугольник проводимостей, подобный треугольнику напряжений (рисунок 2.21, а, б).

Треугольник проводимостей служит геометрической интерпретацией уравнений (2.21) и (2.22); активная проводимость g откладывается по горизонтальной оси вправо, а реактивная проводимость b в зависимости от ее знака откладывается вниз (b > 0) или вверх (b < 0). Угол j в треугольнике проводимостей отсчитывается, от гипотенузы у к катету g, что соответствует отсчету j в треугольнике токов от I = yU к I_a = gU.

Для характеристики конденсаторов, представляемых цепью с емкостной и активной проводимостями, применяется понятие добротность конденсатора Q_C = b/g = ωC_R, которое равнозначно тангенсу угла |j| конденсатора. Обратная величина называется тангенсом угла диэлектрических потерь конденсатора tgd = l/Q_C (угол диэлектрических потерь d дополняет угол |j| до 90°).

Чем больше сопротивление R, тем больше (при прочих равных условиях) добротность конденсатора и тем меньше угол потерь.

Добротность конденсаторов для разных частот и диэлектриков колеблется в широких пределах, примерно от 100 до 5000. Слюдяные конденсаторы обладают большей добротностью, чем керамические.

Добротность конденсаторов, применяемых в высокочастотной технике, примерно в 10 раз превышает добротность индуктивных катушек.