Связанные с прямой на плоскости

1. Расстояние от точки до прямой.

Пусть на евклидовой плоскости дана прямая и точка .

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра , проведенного из точки к прямой (рис. 62). Если , то считают, что расстояние от до равно 0. Расстояние от точки до прямой будем обозначать через .

Поставим следующую задачу: вычислить , если известны координаты точки и общее уравнение прямой в прямоугольной декартовой системе координат. Для решения этой метрической задачи докажем теорему:

Теорема 1. Пусть в прямоугольной декартовой системе координат даны координаты точки и уравнение прямой , причем . Тогда расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле:

.

□ (рис. 63) или или . Тогда

.

Так как , то

, т.к. . Тогда . Вычислим .

Пусть - координаты точки , тогда . Поэтому .

, откуда и получаем формулу

. ■

2. Направленный угол между двумя прямыми на ориентированной плоскости.

Две пересекающиеся прямые образуют на плоскости четыре угла. Углом между пересекающимися прямыми называется величина того из углов, который не превосходит остальные. Угол между прямыми и будем обозначать так: . Таким образом, для любых пересекающихся прямых и

.

На ориентированной плоскости вводится понятие направленного (ориентированного) угла между двумя прямыми.

Пусть - первая, - вторая прямая и .

Направленным углом между прямой и прямой называется направленный угол между направляющими векторами и , выбранными так, что (рис. 64).

Обратите внимание, что:

– направляющие векторы прямых и берутся не произвольно, а так, что

величина угла между ними (обычного, не направленного) не превосходит ;

– понятие направленного угла между прямыми определяется через понятие направленного угла между векторами.

Примем следующее обозначение направленного угла между прямой и прямой : . В этой записи имеет значение порядок прямых.

Из определения направленного угла между прямыми следует, что

.

Если не перпендикулярна , то ; если , то или .

Сформулируем без доказательства следующую теорему.

Теорема 2. Если в ортонормированном базисе даны координаты любых направляющих векторов и прямых и , не являющихся взаимно перпендикулярными, то

.

Для решения задач более важными являются два следствия из этой теоремы.

Следствие 1. Пользуясь теоремой 2, выведем формулу для вычисления и условие перпендикулярности прямых и , если и заданы общими уравнениями.

; .

Тогда .

а) Если не перпендикулярна , то

.

Записав числитель в виде определителя, получим

.

б) Если , то учитывая, что тогда и только тогда, когда , получаем условие перпендикулярности двух прямых:

.

Следствие 2. Пусть прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами: ; . Тогда (координаты направляющих векторов и находятся после приведения уравнений прямых и к общему виду).

а) Если не перпендикулярна , то

, т.е. .

б) .

Иногда удобно пользоваться следующей записью:

.