Различные уравнения прямой
Говорят, что уравнение есть уравнение линии, если выполняются два условия:
1) если точка принадлежит линии , то ее координаты удовлетворяют уравнению ;
2) если координаты точки удовлетворяют уравнению , то .
Заметим, что условие 2) можно заменить на эквивалентное ему условие 2*):
2*) если , то ее координаты не удовлетворяют уравнению .
Линия на плоскости называется алгебраической, если в какой-либо аффинной системе координат уравнение этой линии можно представить в , где - многочлен от переменных и , т.е. сумма членов вида , .
Число называется степенью члена, где .
Наивысшая степень членов многочлена называется степенью этого многочлена. Например, степень многочлена равна 7.
Порядком алгебраической линии, заданной уравнением , называется степень многочлена .
Из школьного курса известно, что прямая линия является линией первого порядка, а окружность, гипербола и парабола – линиями второго порядка.
Рассмотрим на плоскости прямую линию. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором. Направляющий вектор прямой будем обозначать через . Прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов. Любые два из них коллинеарны (рис. 53).
Прямая на плоскости однозначно задается точкой и направляющим вектором или двумя точками.
Выведем несколько уравнений прямой на плоскости в аффинной системе координат .
1. Каноническое уравнение прямой.
Пусть прямая задана точкой и направляющим вектором (рис. 54). Этот факт будем обозначать так: .
Если точка принадлежит прямой , то . Находим координаты вектора . Далее применяем условие коллинеарности двух векторов в координатах (см. § 5, свойство координат векторов 50):
, если ;
, если ;
, если .
Если , то || . Следовательно,
, если ;
, если ;
, если .
|
(если ); (10)
|
|
Каждое из уравнений (10), (11) и (12) называется каноническим уравнением прямой на плоскости.
В уравнениях (10)-(12) - координаты фиксированной точки прямой ; - координаты направляющего вектора прямой ; - текущие координаты произвольной точки прямой .
2. Параметрическое уравнение прямой.
Пусть прямая задана точкой и направляющим вектором .
(рис. 54) (по теореме о коллинеарных векторах).
|
или (13)
Система уравнений (13) называется параметрическим уравнением прямой на плоскости. Действительное число называется параметром. Геометрический смысл параметра состоит в следующем: для любой точки существует единственный параметр , удовлетворяющий уравнениям (13), и обратно, и .
3. Уравнение прямой, заданной двумя точками.
Пусть (рис. 55). Тогда в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор , т.е.
.
|
(14)
Уравнение (14) называется уравнением прямой, заданной на плоскости двумя точками и .
Заметим, что если или , то применяем частные случаи (11) или (12) канонического уравнения прямой.
4. Уравнение прямой в «отрезках».
Пусть прямая пересекает ось аффинной системы координат в точке , ось - в точке , где (рис. 56).
Применяя уравнение прямой, заданной двумя точками А и В, получим:
;
; ,
откуда получаем уравнение:
(15)
Уравнение (15) называется уравнением прямой «в отрезках».
Геометрический смысл а и в в уравнении прямой «в отрезках»: а – это абсцисса точки пересечения прямой с осью , в – ордината точки пересечения прямой с осью аффинной системы координат.
5. Уравнение прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом.
Пусть - прямая, не параллельная оси (рис. 57), - направляющий вектор прямой . Так как || , а , то || . Следовательно, || . Поэтому (см. условие коллинеарности векторов в координатах).
Число называется угловым коэффициентом прямой .
Угловой коэффициент прямой не зависит от выбора направляющего вектора этой прямой (попробуйте доказать это самостоятельно).
Замечание. Если прямая задана в прямоугольной системе координат , то имеет простой геометрический смысл: , где - угол наклона прямой к оси , т.е. направленный угол (рис. 58).
Пусть прямая задана точкой и угловым коэффициентом . Запишем каноническое уравнение прямой :
и преобразуем его: ; ; учитывая, что , получим:
(16)
Уравнение (16) называется уравнением прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом.
6. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Пусть - угловой коэффициент прямой . Применяя уравнение (16), получим: , т.е.
. (17)
Уравнение (17) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
В уравнении (17) в – это ордината точки пересечения прямой с осью .
Дата добавления: 2015-11-28; просмотров: 689;