Преобразование прямоугольной системы координат

Понятие направленного угла между векторами вводится на ориентированной плоскости.

Пусть и - ненулевые векторы, заданные в определенном порядке ( - первый вектор, - второй вектор).

Если || , то направленным углом между вектором и векторомназывается

величина , если базис , - правый;

величина , если базис , - левый.

Если , то направленный угол между ними считается равным , если , то (рис. 42).

Направленный угол между вектором и вектором обозначается так:

.

На чертеже направленный угол между векторами и показывают дугой со стрелкой, идущей от первого вектора ко второму.

Из определения направленного угла между векторами и следует, что он находится в следующих пределах:

.

Рассмотрим две прямоугольные декартовы системы координат и . Пусть М(х;у) в , в . Так как прямоугольная система координат - частный случай аффинной, то можно пользоваться формулами (5) из §12, но коэффициенты , , , уже не могут быть произвольными.

Найдем координаты векторов , в старой системе . Рассмотрим два случая.

1) Базисы , и , одинаково ориентированы (рис. 43).

Пусть направленный угол . Приведем векторы и к общему началу О (рис. 44).

Прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу ( , ), следовательно, и .

Из находим:

;

.

Следовательно, .

; .

Следовательно, . Тогда формулы (5) примут вид:

;

. (8)

Заметим, что определитель матрицы перехода от базиса , к базису ,

.

2) Базисы , и , противоположно ориентированы (рис. 45).

Пусть . Приведем векторы и к общему началу О (рис. 46).

Рассуждая аналогично случаю 1), получим:

;

;

; .

Следовательно, ; .

Тогда формулы (5) примут вид:

;

. (9)

Заметим, что определитель матрицы перехода от базиса , к базису , в этом случае

.

Формулы (8) и (9) можно объединить:

, , если базисы , и , одинаково ориентированы, , , если базисы , и , противоположно ориентированы. где

.