Начертательной геометрии

Учебное пособие по

Начертательная геометрия — раздел геометрии, в котором изучаются пространственные фигуры по их изображениям на плоскости, а также методы решения и исследования пространственных задач на плоском чертеже.

В курсе начертательной геометрии можно выделить три основных класса задач: позиционные, метрические и комбинированные. Задачи каждого класса имеют свои особенности и соответствующие им приемы решения.

Позиционными называются задачи, в которых определяется относительное положение или общие элементы геометрических фигур.

Задачи, связанные с измерением расстояний и угловых величин, называются метрическими.

К классу комбинированных относятся задачи, рассматривающие совместно в различных сочетаниях позиционные и метрические свойства геометрических фигур.

В каждом классе, в свою очередь, можно выделить особую группу задач, в которых на искомое наложено два или более условий. Эти задачи называются комплексными.

Любую задачу, независимо от ее принадлежности к тому или иному классу, нужно сначала решить в пространстве - уяснить содержание и последовательность тех пространственных операций, при помощи которых определяются искомые элементы. В некоторых случаях для этого можно использовать модели или наглядные изображения. Алгоритм решения задачи в пространстве необходимо символически записать, пользуясь примерами, данными в пособии. Только после этого можно переходить к графической реализации алгоритма - решению задачи на комплексном чертеже. Для этого необходимо уметь выполнять на комплексном чертеже построения, основанные на определенных теоретических положениях курса.

При решении задач надо иметь в виду, что начертательная геометрия оперирует не с самими геометрическими фигурами, а с их проекциями, и требование в условиях «построить», «определить», «найти» и т.п. означает, что нужно построить проекции (не менее двух) искомых геометрических фигур.

Обозначение и символика:

Геометрическая фигура - Ф

Точки пространства - А, В, С…

1, 2, 3, 4…

Слово <<точка>> - (.)

Линии пространства - а, в, с, d…

Линии уровня:

горизонталь - h

фронталь - f

Прямая проходящая через точки А и В - (AB)

Отрезок прямой - [AB]

Расстояние между точками А и В - │AB│

Величина угла (АСВ) - AĈB

Поверхности (плоскости) - 0, P, λ, ∆…

Плоскости проекций - П (пи)

Совпадают - =

Конгруэнтны - ≅

Подобны - ~

Параллельны - ‖

Перпендикулярны - ^

Скрещиваются - ∸

Пересекаются - Ç

Объединяются (соединяются) - ⋃

Касательные - ⋃

Отображаются - →

Логическое следствие - a

Принадлежит, является элементом - Î

Включает, содержит - Ì

Вращение - Æ

Модели геометрических образов и их определитель:

Точка

Простейший геометрический образ пространства есть точка – одно из основных неопределяемых понятий геометрии. Точка как простейший элемент составляет суть всех последующих геометрических образов, состоящих из некоторого определенного множества точек пространства. На чертеже мы имеем не геометрическую точку, а ее образ, который обладает некоторыми малыми размерами. Это условное изображение мы считаем точкой и определяем как место пересечения двух линий.

Линия

Линия — траектория движущейся точки. Кривая линия обусловлена движением точки в постоянно изменяющемся направлении. Прямая линия определяется двумя точками, кривая — n точками.

Плоскость

Плоскость — часть пространства, определяемая элементами (точками, линиями). Плоскость бесконечна. Всякая плоская фигура есть часть какой-либо плоскости, поэтому ее называют отсеком плоскости. Плоскость считается построенной на комплексном чертеже, если заданы проекции; элементов ее определяющих.

Поверхность

В элементарной геометрии поверхность определяется как граница фигуры или совокупность всех последовательных положений движущейся линии (не вдоль себя).

Определитель

Определитель геометрического образа – необходимая и достаточная совокупность геометрических фигур и связей между ними, однозначно определяющих образ и реализующих закон его образования. Определитель описывается после буквенного обозначения образа по схеме: Ф (Г) [А],

где Ф – геометрический образ (Г.О.); (Г) – геометрическая часть (перечень фигур, участвующих в образовании геометрического образа); [А] – закон образования данного образа (указывает на взаимосвязь между фигурами участвующих в образовании этого геометрического образа).