Непосредственный вывод через отношение

Из простых суждений

Из атрибутивных

Если посылка - суждение вида А, Е, I или О, то непосредственный вывод можно сделать путем вывода по логическому квадрату,

Отношение противоречия (А–О и Е–I) – различное качество и количество.

И≠И не могут быть одновременно ни истинными,

Л≠Л ни ложными.

И→Л - из истинности одного следует ложность другого.

Отношение противоположности(А-Е) – разное качество.

И≠И не могут быть одновременно истинными,

Л=Л но могут быть одновременно ложными.

И→Л - из истинности одного следует ложность другого.

Отношение частичной совместимости(I-О).

И=И могут быть одновременно истинными,

Л≠Л но не могут быть одновременно ложными.

Л→И - из ложности одного следует истинность другого.

И→И из истинности одного следует как истинность,

И→Л так и ложность другого.

Отношение подчинения(А-I и Е-О).

И=И могут быть одновременно истинными,

Л≠Л но не могут быть одновременно ложными.

Л→И - из ложности одного следует истинность другого.

И→И из истинности одного следует как истинность,

И→Л так и ложность другого.

Каждое суждение может находиться в 3-ёх отношениях с другими суждениями, и с собой → возможны четыре вывода.

Пример: Если (А)«Все благородные мысли находят себе сочувствие» (Ист.)→ то (I) «Некоторые благородные мысли находят себе сочувствие» тоже (Ист.); (Е)«Ни одна благородная мысль не находят себе сочувствия» (Ложн.); (О)«Некоторые благородные мысли не находят себе сочувствия» (Ложн.); (А)«Все находящее себе сочувствие - благородные мысли».

Зная истинность и ложность одного из категорических суждений, можно определить истинность или ложность других.

Если А - истинно, то Е, О – ложны, I – истинно.

Если Е-истинно, то А, I –ложны, О – истинно.

Если I - истинно, то Е – ложно, а А и О – неопределенны.

Если О – истинно, то А – ложно, а Е и I – неопределенны.

Если А– ложно, то О – ложно, а Е и I – неопределенны.

Если Е– ложно, то I – истинно, а А и О – неопределенны.

Если I – ложно, то А – ложно, Е, О - истинны.

Если О– ложно, то Е - ложно, А, I – истинны.

Из реляционных

Логическим основанием служит характер отношения R между предметами Х и У.

Отношение симметричности

Если Х=У, то и У=Х,

то из посылки, имеющей форму х R у с необходимостью следует заключение → у R х.

Пример: Если установлено, что «Женщины равны в правах с мужчинами», то отсюда следует, что «Мужчины равны в правах с женщинами».

xRy

R sim

yRx

Аналогично умозаключения строятся на основе отношений: «быть родственником», «быть ровесником», «сыграть вничью».

Отношение асимметричности

Если Х = У, то У≠Х

Пример: Если известно, что «Конституционные законы выше остальных законов страны», то отсюда следует, что «Остальные законы страны не выше(ниже) конституционных».

Отношение транзитивности

Если Х и У, У и Z,

то имеет место отношение Х и Z.

Пример: Если известно, что «Санкт-Петербург принадлежит к городам, которые по числу населения меньше чем Москва, а Тула – к городам, которые меньше Санкт Петербурга», томожно заключить, что «Тула по численности населения меньшеМосквы».

xRy

уRх

R trans

xRz

К транзитивным умозаключениям принадлежат отношения: «быть больше», «быть старше», «быть потомком», «быть предком» и т. д.

Таким же образом, можно сделать непосредственный вывод из несимметричных и нетранзитивных отношений.

Умозаключения, основанные на свойствах реляционных суждений, принадлежат к доказательным выводам и, следовательно, истинные, при истинных посылках.