Реакция оси вращающегося тела.
Рассмотрим ещё одну задачу на применение общих теорем динамики твёрдого тела: на вопросе об определении реакций в точках закрепления оси вращающегося твердого тела. Примем ось вращения за ось Oz, поместив начало системы осей , связанных с телом, в закрепленной точке (подпятник); в точке на расстоянии помещен подшипник оси вращения. Применим обе теоремы: освободив мысленно тело от опорных закреплений ,и введём в рассмотрение искомые реакции и . Запишем теорему о движении центра масс
где - вектор угловой скорости тела, - скорость центра инерции, - его вектор-радиус. Вычислим кинетический момент (по второй формуле (3.78)
.
Спроектируем полученные уравнения на оси координат жестко связанные с Рис 59
телом, заметим, что . Тогда первая группа уравнений имеет вид
, , .
Перейдём ко второй группе и рассмотрим сначала второе слагаемое
,
после чего можем записать три уравнения
, ,
Рассматриваемую задачу можно решать и методом кинетостатики, для чего надо ввести силы инерции и моменты сил инерции ( на рисунке и ). Будем считать, что тело вращается под действием крутящего момента , тогда проектируя и на оси координат получаем шесть уравнений
,
,
, (3.81)
,
,
.
Первые пять уравнений служат для определения пяти реакций , а последнее для определения угловой скорости. Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Если тело не вращается, то мы имеем 5 уравнений статики, из которых определяем 5 статических реакций.
2. Интегрируя последнее уравнение (3.81), получаем . Тогда можно определить те динамические добавки к статическим реакциям, возникающие от вращения тела. Всегда можно выбрать оси таким образом, чтобы центр масс находился, к примеру, в плоскости Oyz, тогда и имеем
,
,
, (3.82)
.
3.Пусть ось вращения – центральная ось, тогда и , т.е. и или . Дополнительное воздействие вращающегося тела на ось вращения приводится к паре сил и величина момента этой пары равна . В этом случае говорят, что тело статически уравновешено.
4.Пусть ось вращения главная ось инерции в точке пересечения оси вращения и плоскости перпендикулярной оси вращения и проходящей через центр масс ( нецентральная ось не может быть главной во всех своих точках), тогда и пусть расстояние от выбранной точки пересечения до подшипников равно а и в ( ). Тогда уравнения (109) следует переписать так
,
,
, .
Из последних двух формул следует и
, , , .
Динамические реакции представляют параллельные силы, и в этом случае говорят, что тело динамически уравновешено.
Дата добавления: 2016-01-07; просмотров: 1292;