Вычисление прогибов на основе решения дифференциального уравнения изогнутой оси балки
Прогибы можно находить и другими способами, например, на основе решения дифференциального уравнения изогнутой оси балки. Для вывода этого уравнения, рассмотрим элемент балки (рис.16.6).
Рис. 16.6
Ясно, что чем больше , тем больше кривизна изогнутой оси балки.
Эту фразу можно записать в виде:
. (16.5)
Выразим кривизну через прогиб. Согласно формулам математического анализа:
Рис.16.7
По геометрическому смыслу производная это тангенс угла наклона кривой (рис16.7):
.
Ввиду малости прогибов угол также мал, поэтому
.
Тогда: (16.6)
Очевидно, что k зависит от геометрии сечения и материала балки. Найдем эту зависимость.
Рассмотрим малый элемент балки длины (рис. 16.3, 16.4). После изгиба он превратится в изогнутый элемент (рис.16.8). Длина волокна BC, которое проходит через центр тяжести сечения, не изменяется и будет равна . А нижнее волокно DH удлиняется на .
Рис.16.8
Вычисляем , учитывая, что . Согласно определению
.
Используя закон Гука и формулу Навье получаем
. (16.7)
Вычислим теперь по другому - через угол (рис.16.8). Из геометрии известна формула для вычисления длины дуги:
.
Тогда
. (16.8)
Приравниваем (16.7) и (16.8):
.
Отсюда получаем:
.
Учитываем, что согласно (16.6):
Окончательно получаем:
(16.9) |
Это и есть уравнение изогнутой оси балки.
Дата добавления: 2015-11-28; просмотров: 861;