ГЛАВА 3. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
В главе введены понятия относительного, переносного и абсолютного движений точки, кориолисова ускорения, изложена методика определения скоростей и ускорений точки в сложном движении.
Рис.35 |
Скорость и ускорение точки в относительном движении называют относительной скоростью и относительным ускорением. Движение подвижной системы отсчёта и неизменно связанного с ней тела по отношению к неподвижной системе отсчёта является для точки переносным движением.
Скорость и ускорение той точки тела , где в данный момент времени находится точка , называют переносной скоростью и переносным ускорением точки .
Движение точки относительно неподвижной системы отсчётаназывают абсолютным движением точки.
Скорость и ускорение точки в абсолютном движении называют абсолютной скоростью и абсолютным ускорением точки.
Согласно теореме о сложении скоростей, абсолютная скорость точки равна геометрической сумме её переносной скорости и относительной скорости
. (3.1)
По теореме Кориолиса о сложении ускорений абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного , относительного и кориолисова ускорений
. (3.2)
Кориолисово ускорение равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки
. (3.3)
Векторное равенство определяет модуль ускорения Кориолиса
, (3.4)
где – меньший угол между векторами и и его направление (рис. 36).
Рис. 36 |
Относительная траектория |
Для определения направления ускорения Кориолиса удобно пользоваться правилом Жуковского: проецируем вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную вектору , далее поворачиваем полученную проекцию на угол 90° в направлении вращения переносной угловой скорости , получаем направление кориолисова ускорения .
Из выражений (3.4) вытекают условия, при выполнении которых ускорение Кориолиса равно 0.
Очевидно, , если:
1) ; учитывая, что , где – угол поворота тела , движение которого для точки является переносным (рис. 36). Производная в двух случаях: а) , то есть переносное движение является поступательным; б) и , угол поворота тела имеет экстремальное значение (в моменты времени изменения направления переносной угловой скорости );
2) ; так как , где – дуговая координата в относительном движении точки , то также в двух случаях: а) (нет относительного движения точки); б) и (моменты изменения направления относительного движения точки);
3) ; значит, , либо , то есть это случай, когда векторы и параллельны.
Рассмотрим характерные примеры решения задач на сложное движение точки.
Рис.37 |
Решение задач на сложное движение точки надо начинать с установления её относительного движения, далее найти переносное и наконец абсолютное движение. В некоторых задачах, к которым относится и данный пример, это можно сделать сразу без дополнительных исследований. Подробно определение движений приведено в примере 3. В рассматриваемом примере движение точки по звену – движение относительное, движение звена – переносное движение для точки , сумма относительного и переносного движений даёт абсолютное движение точки.
Находим положение точки на звене в заданный момент времени с
м, тогда (рис. 38).
Абсолютная скорость точки равна
. (3.5)
Переносная скорость равна скорости той точки звена , где находится точка в данный момент времени. Так как в рассматриваемой задаче дано, что и , то звено четырёхзвенника движется поступательно. Значит, согласно основной теореме поступательного движения тела ,
м/с.
направлена в сторону вращения . Для угла скорость направлена перпендикулярно радиусу траектории относительного движения точки.
Относительная скорость точки равна
.
При с м/с.
направлена по касательной к траектории относительного движения, то есть в заданном положении точки скорости и направлены по одной линии (рис. 38). Поэтому для заданного положения точки абсолютная скорость
м/с.
Абсолютное ускорение точки равно
. (3.6)
Переносное ускорение
.
Так как относительное движение точки криволинейное, то относительное ускорение равно
.
Тогда
Рис.38 |
Находим модули и направляем составляющие абсолютного ускорения м/с²; направлен в сторону .
м/с²; направлен по от к .
; при с м/с².
Знак «минус» в показывает, что вектор направлен в сторону уменьшения дуговой координаты . Далее м/с².
м/с².
направлен по к центру (рис. 38).
Ускорение Кориолиса
,
так как звено движется поступательно, то .
Поскольку все векторы составляющих абсолютного ускорения в рассматриваемом примере расположены в плоскости чертежа, для определения его модуля выбираем две любые перпендикулярные оси, например ,и находим две проекции абсолютного ускорения на эти оси:
м/с²,
м/с².
Тогда
м/с².
Пример 2. Точка движется с постоянной скоростью м/с по жёлобу квадратной пластины со стороной м от к . Пластина вращается вокруг оси ускоренно. В данный момент времени угловая скорость рад/с, угловое ускорение рад/с² и точка занимает на пластине положение, указанное на рис. 39. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки.
Для решения задачи зададим направление и . Абсолютная скорость точки равна
. (3.8)
Относительная скорость . Вектор направлен по касательной к траектории относительного движения точки (рис. 40).
Переносная скорость
Рис. 39 |
где – угловая скорость движения пластины ( ), – радиус вращения той точки пластины, где находится точка М в данный момент времени.
м.
Рис. 40 |
м/с. |
Абсолютное ускорение точки равно
. (3.9)
Так как переносное движение – вращательное, а относительное – криволинейное, то имеем
. (3.10)
Переносное вращательное ускорение равно
м/с².
Вектор направлен на нас.
Переносное центростремительное ускорение равно
м/с².
Вектор направлен вниз.
Касательное ускорение
,
так как по условию задачи .
Нормальное ускорение
м/с².
Вектор направлен к центру кривизны траектории относительного движения, то есть к O1.
Ускорение Кориолиса . Вектор направлен по оси OO, и его направление можно найти, используя правило буравчика.
Переносим вектор в точку . Тогда меньший угол между векторами и равен 120º. Значит
м/с².
Используя правило векторного произведения или правило Жуковского, находим, что вектор направлен в противоположную от нас сторону (против ) (рис. 40).
Выбираем систему перпендикулярных осей и находим три проекции абсолютного ускорения на выбранные оси:
м/с²;
м/с²;
м/с².
Тогда абсолютное ускорение точки равно
м/с².
x1 |
Считая вращение кривошипа ускоренным, определить в заданном положении механизма угловую скорость и угловое ускорение кулисы , если OA = 4 м, , .
y1 |
Рис.41 |
Рис.42 |
Абсолютная скорость точки
. (3.11)
Определяем абсолютную скорость
м/с.
направлена в сторону вращения . Строим параллелограмм скоростей, чтобы была его диагональю, одна из сторон направлена по , вторая перпендикулярна ей (рис. 42).
x1 |
Рис. 42 |
м/с,
м/с,
тогда рад/с.
y1 |
. (3.12)
Или с учётом вида абсолютного, переносного и относительного движений
. (3.13)
Составляющие абсолютного ускорения, подчеркнутые в векторном равенстве (3.13) двумя чертами, известны по модулю и направлению, одной чертой – только по направлению.
м/с², направлен по ;
м/с², направлен в сторону ;
, так как относительное движение – прямолинейное, значит ;
м/с², направлен по , от B к O1.
Ускорение Кориолиса .
По модулю м/с².
Используя правило Жуковского, указываем направление вектора . Задаём направления ускорений (перпендикулярно ) и (по ) (рис. 42).
Проектируем векторное равенство (3.13) на ось
.
Отсюда
м/с².
Так как получилось со знаком «+», то на рис. 42 указано верное направление вектора .
Тогда угловое ускорение кулисы O1B равно:
рад/с².
Ускорение направлено в сторону, куда вращает кулису вокруг оси O1.
Проектируя векторное равенство (3.13) на ось , можно найти относительное ускорение .
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое сложное движение точки?
2. Что называется относительным, переносным и абсолютным движением?
3. Как определяется скорость точки при сложном движении?
4. Как определяется ускорение точки при сложном движении?
5. В каких случаях при сложном движении точки ускорение Кориолиса равно нулю?
Дата добавления: 2016-01-03; просмотров: 2692;