Движения свободного твёрдого тела

Сферическим движением твёрдого тела называется такое движение, при котором одна точка тела остается неподвижной.

Сферическое движение совершает, например, волчок (рис. 32), у которого остаётся неподвижной точка .

Для изучения сферического движения вводится неподвижная система отсчета и подвижная система , которая движется вместе с телом.

Линия пересечения неподвижной плоскости с подвижной называется линией узлов.

Для задания положения тела при сферическом движении служат углы Эйлера:

– угол прецессии;

– угол собственного вращения;

– угол нутации.

Названия указанных углов взяты из астрономии.

Выражения

, , (2.31)

называются уравнениями сферического движения твёрдого тела.

Из теоремы Эйлера-Даламбера о перемещении твёрдого тела, имеющего одну неподвижную точку, следует, что сферическое движение в каждый момент времени можно рассматривать как мгновенное вращательное движение вокруг мгновенной оси , проходящей через неподвижную точку с угловой скоростью . Вектор угловой скорости направляется по мгновенной оси , и его направление можно определить по правилу правого винта.

Поскольку для радиус-вектора любой точки тела его модуль , скорости точек тела при сферическом движении можно определять по формуле Эйлера

. (2.32)

Векторное выражение (2.32) определяет модуль и направление вектора скорости . Модуль равен

,

где – наименьший угол между радиус-векторами и , – перпендикуляр, опущенный из точки М на ось ОР.

Из выражения (2.32) следует, что вектор скорости направляется перпендикулярно плоскости МОР (значит, перпендикулярно ) в сторону круговой стрелки .

Представим векторное произведение (2.32) в виде определителя

, (2.33)

где , , и , , – соответственно проекции векторов и на неподвижную систему осей .

Раскладывая определитель (2.33) по элементам верхней строки, получим выражения для проекций вектора скорости на неподвижные оси:

, , . (2.34)

При сферическом движении твёрдого тела в общем случае направления векторов углового ускорения и угловой скорости не совпадают. Вектор направлен по некоторой оси ОЕ, положение которой определяется в каждом конкретном случае сферического движения.

Ускорение точки тела при сферическом движении определяется путём дифференцирования по времени векторного выражения (2.32)

. (2.35)

В выражении (2.35)

(2.36)

есть вращательное ускорение точки М тела. Из выражения (2.36) следует, что

,

где – угол наименьший между радиус-векторами и , – перпендикуляр, опущенный из точки М на ось ОЕ.

Вектор направлен перпендикулярно плоскости МОЕ (значит, перпендикулярно ) в сторону круговой стрелки .

Вторая составляющая ускорения в выражении (2.35)

(2.37)

есть осестремительное ускорение точки . Из выражения (2.37) следует, что

и вектор направлен по к оси ОР.

С учётом выражений (2.26) и (2.37) выражение (2.35) принимает вид

. (2.38)

Равенство (2.38) выражает теорему Ривальса об ускорении точки тела, совершающего сферическое движение: ускорение любой точки тела при сферическом движении равно геометрической сумме её вращательного и осестремительного ускорений.

На рис. 32 ускорение направлено по диагонали параллелограмма, построенного на векторах и . Так как угол между и в общем случае не равен , то модуль вектора можно определить по теореме косинусов

. (2.39)

С учётом сказанного для свободного тела в общем случае скорость и ускорение некоторой точки , положение которой относительно полюса определяется радиус-вектором , будут равны геометрическим суммам скоростей и ускорений от поступательного и сферического движений

, (2.40)

. (2.41)

Пример 1. Конус 1 (рис. 34а) с углом при вершине и радиусом основания AC = 0,3 м катится без скольжения по такому же неподвижному конусу 2, совершая вокруг вертикальной оси оборот за каждую секунду. Определить:

1) угловую скорость конуса ;

2) угловое ускорение конуса ;

3) скорости низшей и высшей точек основания и ;

рад/с

и оси с угловой скоростью . Поскольку для точки её скорость от вращения вокруг оси равна нулю, то

,

где – перпендикуляр, опущенный из точки на ось .

м.

Значит,

м/с.

Вектор направлен перпендикулярно плоскости чертежа в сторону круговой стрелки , т.е. на нас.

Согласно теореме Эйлера-Даламбера, сферическое движение можно рассматривать как вращательное движение с угловой скоростью вокруг мгновенной оси , которая совпадает с образующей конусов 1 и 2, поскольку конус 1 катится без скольжения.

Следовательно,

,

где – перпендикуляр, опущенный из точки на мгновенную ось :

м.

Следовательно, мгновенная угловая скорость

рад/с.

Зная направление вектора , находим направление . Изображаем в виде вектора , используя правило правого винта.

Так как точка конуса 1 лежит на мгновенной оси , то скорость

.

Скорость точки

,

где – перпендикуляр, опущенный из точки на мгновенную ось :

м.

Следовательно,

м/с.

Вектор направлен на нас.

Вектор углового ускорения

. (2.42)

Так как модуль вектора постоянный, т.е. , то производную (3.42) можно определить по формуле Эйлера:

, (2.43)

где – вектор угловой скорости , направленный по оси вниз.

Из выражения (2.42) следует, что вектор углового ускорения по модулю и направлению совпадает со скоростью конца вектора , который вращается с угловой скоростью вокруг оси .