Пример расчета (задача № 16)

Определить динамический прогиб и напряжения в опасных се­чениях балок КD и АВ, возникающих под действием работающего электромотора весом G = 10 кН (рис. 8.4, а). Вес неуравновешан­ных частей ротора Р = 1 кН. Эксцентриситет вращающихся масс е = 0,02 м. Число оборотов ротора n = 600 об/мин. Массой балок в расчетах пренебречь. Поперечное сечение балок КD и АВ состоит из двух двутавров №20 (I_x = 1840×10^-8 м⁴; W_x = 184×10^{-6 м3}). Модуль упругости стали Е = 2×10⁸ кН/м².

Рис. 8.4

Решение

1. Определение статического прогиба в сечении С балки КD и статического напряжения в сечении у задел­ки А. Из уравнений равновесия статики Sm_D = 0 и Sm_K = 0 найдем опорные реакции в балке КD (рис. 8.4, б):

кН.

На балку АВ в точке В (К) опоры на консоль передается нагруз­ка Р = 5 кН, равная по величине опорной реакции R_K , но обратная по направлению. Из уравнений Sm_A = 0 и åy = 0 определяем реак­тивные усилия в заделке А балки АВ: М_A = 10 кН×м; R_А = 5 кН. Оп­ределив опорные реакции в балках, строим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М для балок КD и АВ (рис. 8.4, в, г, е, ж). Зная величины изгибающих моментов, возникающих в опас­ных сечениях балок, определяем статические напряжения в сечени­ях С и А:

кН/м²;

кН/м².

Для определения статического прогиба в точке С балки КD вна­чале предполагаем, что эта балка опирается на абсолютно жесткое основание. Используя метод начальных параметров, составляем уравнение прогибов, приняв начало координат в сечении D.

,

где y₀ = 0, М₀ = 0, j₀ ¹ 0, .

Для нахождения j₀ составим уравнение прогиба для сечения К в котором прогиб равен нулю из условий закрепления:

Так как y₀ = 0, то, решая это уравнение, получим:

.

Подставив найденное значение j₀ в уравнение прогиба для се­чения С, получим формулу для определения :

м.

Для вычисления полного перемещения сечения С с учетом характера опирания балки КD на консольную балку необходимо найти прогиб консольной балки АВ от действия на нее силы Р_K = -R_K = 5 кН. Для этого, приняв начало координат в сечении В балки АВ, соста­вим уравнение метода начальных параметров для определения прогиба на конце консоли. При начале координат в точке В консоли известными параметрами будут: М₀ = М_B = 0; Q₀ = Q_B = -Р_K = -5 кН, а неизве­стными y₀ = y_B ¹ 0; j₀ = j_B ¹ 0. Неизвестные начальные параметры y₀ и j₀ определим из уравнений прогиба и угла поворота для сечения А. Из условия закрепления балки АВ имеем при z = l = 2 м y_A = j_А = 0.

Составим уравнения метода начальных параметров:

(а)

. (б)

Приравняв к нулю уравнение (а) при z = l м, определяем j₀:

.

Подставив найденное значение j₀ в уравнение (б) и принимая y = 0 при z = l , получим выражение второго неизвестного на­чального параметра y₀ , определяющего прогиб сечения В консоль­ной балки АВ:

;

;

м.

Знак “минус” говорит о том, что конец консольной балки пере­местится вниз.

Определив прогиб и изобразив эпюру перемещений систе­мы (рис. 8.4, з), вычислим величину полного перемещения сече­ния С по формуле:

м.

2. Определение динамического коэффициента и коэффициента эквивалентности. Макси­мальное значение системы внешних сил принимает значение G + b×P₀. Далее определяем коэффициент эквивалентности:

,

где - амплитудное значение инерционной силы; b = - коэффициент динамичности. Здесь -частота собственных колебаний; - частота возмущающей силы.

В рассматриваемом примере:

кН;

.

3. Определение прогиба и напряжений. Максимальное значение напряжения и прогиб, возникающие от совместного действия статических и дина­мических нагрузок, определяем по формулам:

кН/м²,

м.

При коэффициенте К_Д = 1,145 найдем также напряжение в се­чении А балки АВ:

кН/м².

Следовательно, полученное значение напряжения больше, чем напряжение в сечении С, где установлен электромотор. Итак, сече­ние в заделке в данном примере является наиболее опасным , и, следовательно, это обстоятельство необходимо учитывать при проверке прочности составных конструкций.

С увеличением числа оборотов двигателя возрастают динамиче­ские напряжения и прогибы балок. Поэтому при проектировании конструкций не следует допускать наступления резонанса (w = j), при котором может наступить разрушение конструкции.