Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему уравнений первого порядка
( 1 )
где искомые функции, аргумент.
Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной.
Решить систему – значит определить функции , удовлетворяющие системе уравнений (1) и данным начальным условиям:
( 2 )
Интегрирование системы (1) производится следующим образом.
Дифференцируем по первое из уравнений (1):
Заменяя производные их выражениями из уравнений (1), будем иметь уравнение
.
Дифференцируя полученное уравнение и поступая аналогично предыдущему, получим:
.
Продолжая далее, таким же образом получим, наконец, уравнение
.
Итак, получим следующую систему:
( 3 )
Из первых уравнений определим выразив их через и производные :
( 4 )
Подставляя эти выражения в последнее из уравнений (3), получим уравнение порядка для определения :
. ( 5 )
Решая уравнение (5), определим :
( 6 )
Дифференцируя выражение (6) раз, найдём производные
как функции от . Подставляя эти функции в (4), получим :
( 7 )
Дата добавления: 2015-12-29; просмотров: 539;