Лекція 7 . Розв’язання зворотної задачі кінематики маніпулятора. Методи точного і наближеного розв’язання зворотної задачі

Розв’язання зворотної задачі кінематики для деякої ланки маніпулятора зводиться до розв’язання рівняння С_z = T₃₂C₃ відносно вектора узагальнених координат Q = [q₁,q₂, …q_n]^T.

Положення й орієнтацію захвату в системі координат, пов’язаній з основою робота, визначає матриця перетворення

Г_n = T₁₀T₂₁…T_n(n–1) = , (7.2)

яке можна представити у вигляді

(7.2)

де С – вектор початку відліку системи координат 0_nx_ny_nz_n, що зв’язана з центром захвату;

А – вектор орієнтації,

В – вектор підходу захвату,

АхВ – векторний добуток.

Розташування вказаних векторів показана на рисунку.1. Елементи матриці Г_і визначають дванадцятимірний вектор-стовпець:

Х_і = [Г₁₁, Г₁₂, Г₁₃, Г₁₄, Г₂₁, Г₂₂, Г₂₃, Г₂₄, Г₃₁, Г₃₂, Г₃₃, Г₃₄, Г₄₁, Г₄₂, Г₄₃, Г₄₄], (7.3)

що називається вектором положення і-тої ланки маніпулятора.

Точний метод полягає у розв’язанні системи нелінійних рівнянь зв’язку заданого вектора Х_ізд положення у декартовій системі координат, зв’язан ій з основою робота, з вектором положення Х_і(q) в узагальнених координатах:

Х_ізд = Х_і(q),

що отримують шляхом прирівнювання аргументів вектора положення

Г_jk.зад = Г_jk(q); j = 1,2,3; k = 1,2,3,4. (7.4)

Гранично є дванадцять рівнянь зв’язку.

Точне розв’язання – у вигляді однозначних аналітичних залежностей узагальнених координат від геометричних параметрів маніпулятора і проекцій векторів А, В, С на осі системи 0xyz одержують на для всіх кінематичних схем. Наприклад, матриця перетворення для центра захвату маніпулятора, що працює у полярній сферичній системі координат, має вигляд:

.

Оскільки в цьому прикладі розглянуто триступеневий маніпулятор, то для точного розв’язання зворотної задачі достатньо розв’язати систему з трьох рівнянь зв’язку відносно положення центра захвату в просторі (координат радіус-вектора С) Г_jзд = Г_j4(q), j = 1,2,3 у вигляді

.

Розв’язок дає:

q₁ = θ_z = arctg(C_yзд/С_хзд),

q₂ = θ_у1 = arctg ,

q₃ = ℓ_х2 = C_хзд/sinθ_y1,

Приклад

Нехай –180^о ≤ θ_z ≤ 180^о; –60^о ≤ θ_у1 ≤ 240^о; С_хзд = 1м; С_узд = 1м; С_zзд = 0,817м.

Тоді: θ_z ≤ 45^о або –135^о; θ_у1 = 30^о або 210^о (θ_z = 45^о), 150^о або –30^о (θ_z = –135^о), ℓ_х2 = ±0,817/0,5 = ±1,634 м.

Розв’язок ℓ_х2 < 0 відкидається через абсурдність. Але неоднозначність розв’язку зберігається – є два правильних шляхи розв’язання (рис.2), один з котрих характеризується меншим кутом повороту першої координати (θ_z = 45^o) і є оптимальним. При збільшенні числа ступенів рухливості маніпулятора, якщо рівняння зв’язку мають аналітичні розв’язання, зростає число допустимих розв’язків і вибір оптимальних з них може бути складнішим, ніж у розглянутому випадкові.

Г_j4зд = Г_j4(q).

Рис.7.2. Граф вибору допустимих розв’язань зворотної задачі кінематики маніпулятора.

Наближені методи

Наближені методи дозволяють розв’язати зворотну задачу для будь-якої кінематичної схеми маніпулятора. Вона зводиться до численних розв’язань рівняння зв’язку Х_ізд = Х_і(q).

Зворотна задача може розв’язуватися шляхом мінімізації функціоналу розузгодження:

І²(Q) = |Х_зд – Х(Q)|²,

де Х_зд – вектор положення у системі координат 0₀x₀y₀z₀;

Х(Q) – вектор положення в узагальнених координатах, що функціонально залежить від вектора узагальнених координат Q = [q₁,q₂,…q_i]^T, і = 1,2,3,…n.

Мінімізація цього виразу, як правило, проводиться градієнтним методом із кінцевим кроком. Для цього треба у векторному просторі допустимих значень узагальнених координат Q вибрати можливі напрямок і крок зміни вектора Q при дотриманні умови Q € Q і побудувати послідовність Q^[0], Q^[1], …,Q^[k], … Q^[m], яка є мінімізуючою для функціоналі I²(Q), тобто

I²(Q^[0]) > І²(Q^[1]) >…> І²(Q^[k]) > І²(Q^[m]).

Процедура отримання цього виразу полягає, по-перше, із визначення координат вектора градієнта ∂I²(Q^[0])∂q_і і = 1,2,…,n.

Далі на першому кроці ітерації q_i^[0], і = 1,2,…n вибирають такі напрямки Δq_i^[1], щоб отримати переважно від’ємні значення вектора градієнта.

Потім на кожному кроку ітерації дають приріст Δq_i^[k], знаходять величину І²(Q_i^[k]) і перевіряють виконання послідовності. По мірі зменшення модуля градієнта зменшують величину кроку Δq_i^[k].

При неможливості або непрактичності визначення градієнта функціоналу переходять до кінцевих різниць ΔІ²(Q)/ Δq_i. Почергово змінюють кожну координату та один крок ітерації виконується за n кроків.

Метод Ньютона

Широке застосування дістав метод Ньютона, згідно з котрим нелінійне рівняння зв’язку представляють у лінійному наближенні. Знаючи початкове значення координат q_i^[j], на кожному j–тому кроці ітераційного процесу шляхом розв’язання лінійних рівнязання знаходять наступне значення координат q_i^[j+1], що використовують як початкове для (j+1) - го кроку.