Элементарные преобразования матриц.
Определение 1.Элементарными преобразованиями матриц будем называть следующие преобразования:
1) умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) на одно и то же число, отличное от нуля.
Обозначение для строк: , . Для столбцов: , .
2) прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;
Обозначение для строк: . Для столбцов: .
3) перемена местами двух строк (столбцов).
Обозначение для строк: . Для столбцов: .
Если матрица получена из матрицы с помощью элементарных преобразований, то будем записывать это так: .
Лемма 1. Элементарные преобразования третьего типа равносильны нескольким последовательно выполненным преобразованиям первых двух типов.
Доказательство. Пусть матрица получилась из матрицы в результате перемены местами - ой и - ой строки, т.е. . Покажем, что матрица может быть получена из матрицы в результате элементарных преобразований только первых двух типов.
. Таким образом, получили матрицу , что и требовалось доказать. Совершенно аналогично это утверждение доказывается для столбцов.
Лемма 2.Элементарные преобразования матриц обратимы, т.е. если , то и .
Доказательство. Если матрица получилась из матрицы в результате умножения всех элементов - ой строки на число ,т.е. то и матрица получается из матрицы в результате умножения всех элементов - ой строки на число , т.е. .
Если матрица получилась из матрицы в результате прибавления к элементам - ой строки матрицы соответствующих элементов - ой строки, умноженных на число ,т.е. то и матрица получается из матрицы в результате прибавления к элементам - ой строки матрицы соответствующих элементов - ой строки, умноженных на число , т.е. .
Если матрица получилась из матрицы в результате перемены местами - ой и - ой строки, т.е. , то матрица также получается из матрицы результате перемены местами - ой и - ой строки, т.е. , и лемма 2 доказана. Совершенно аналогично это утверждение доказывается для столбцов.
Лемма 3.Если , то .
Доказательствопроведём лишь для элементарных преобразований над строками, т.к. при транспонировании ранг матрицы не меняется. Пусть . Мы хотим доказать, что . По следствию к лемме 2 §11 это будет доказано, если мы докажем, что все миноры ( )-го порядка матрицы равны 0. В силу леммы 1 это достаточно доказать лишь для случая, когда матрица получена из матрицы с помощью элементарных преобразований 1-го и 2-го типа.
1)Пусть матрица получилась из матрицы в результате умножения всех элементов - ой строки на число
и пусть - минор ( )-го порядка матрицы . Могут представиться следующие случаи:
а) - ая строка не входит в состав минора . Тогда как минор ( )-го порядка матрицы .
б) - ая строка входит в состав минора . Тогда , где - минор ( )-го порядка матрицы , стоящий в строках и столбцах с теми же номерами, что и . Здесь мы воспользовались свойством 4 определителей. Следовательно, как минор ( )-го порядка матрицы , т.к. . Отсюда получаем: .
2) Пусть матрица получилась из матрицы в результате прибавления к элементам - ой строки соответствующих элементов - ой строки, умноженных на число , и пусть - минор ( )-го порядка матрицы . Могут представиться следующие случаи:
а) - ая строка не входит в состав минора . Тогда как минор ( )-го порядка матрицы .
б) и - ая, и - ая строки входят в состав минора . Тогда:
,
т.к. - минор ( )-го порядка матрицы . Здесь мы воспользовались свойством 7 определителей.
в) - ая строка входит, а - ая строка не входит в состав минора . Тогда:
Здесь мы воспользовались свойствами 6 и 4 определителей.
- минор ( )-го порядка матрицы . Определитель в общем случае не является минором ( )-го порядка матрицы , т.к. выделенная строка может оказаться не на «своём» месте. Определитель отличается от некоторого минора ( )-го порядка матрицы только порядком строк, и потому .
Лемма 3 доказана.
Проиллюстрируем на примере рассуждение пункта в) доказанной леммы 3.
Пример. Пусть матрица получилась из матрицы в результате прибавления к элементам 1-ой строки соответствующих элементов 3-ей строки, умноженных на число 2:
.
Рассмотрим - минор 2-го порядка матрицы , стоящий в первых 2-х столбцах и в строках с номерами 1 и3
Определитель не является минором матрицы , т.к. строки стоят в другом порядке, но определитель , отличающийся от предыдущего только порядком строк, является минором 2-го порядка матрицы и потому равен 0, т.к. .
Теорема 1. В результате элементарных преобразований ранг матрицы не меняется, т.е. если , то
.
Доказательство.Пусть . Тогда по лемме3 . Элементарные преобразования обратимы (по лемме 2). Следовательно, в этом случае матрица может быть получена из матрицы в результате элементарных преобразований, и по лемме 3 получаем: . Таким образом, , и теорема доказана.
Теорема 2.Любая матрица с помощью элементарных преобразований над строками и, возможно, перестановки столбцов, может быть преобразована в трапециевидную.
Доказательство.Если матрица нулевая,то она трапециевидная по определению, и доказывать нечего.
Если она ненулевая, то она содержит ненулевой элемент, который с помощью перестановки строк и столбцов можно переместить в левый верхний угол. Поэтому будем считать, что . Пусть матрица имеет следующий вид:
.
Совершим следующие элементарные преобразования над строками:
.
Если матрица , то уже получили трапециевидную матрицу.
В противном случае с помощью перестановки последних строк и последних столбцов добьёмся того, чтобы элемент, стоящий во 2-ом столбце и во 2-ой строке был бы отличен от нуля. Поэтому будем считать, что .
Теперь совершим следующие элементарные преобразования над строками:
.
Если , то получили трапециевидную матрицу.
В противном случае продолжим этот процесс до тех пор, пока в нескольких последних строках все элементы не будут равны 0, т.е. , или пока не исчерпаем все строки. В результате получим трапециевидную матрицу.
Следствие. Любая матрица строения ранга с помощью элементарных преобразований над строками и, возможно, перестановки столбцов, может быть преобразована в матрицу вида:
.
Если , то последние нулевые строки отсутствуют. Если , то эта матрица имеет вид: .
Доказательство. Из доказанной теоремы следует, что матрица с помощью указанных преобразований может быть преобразована в матрицу
, причём для всех .
Совершим следующие элементарные преобразования над строками:
.
Теперь с помощью -ой строки получим в -ом столбце в строках с номерами нули. Для этого от
-ой строки отнимем -ю, умноженную на ( ).В результате получим матрицу:
. Теперь действуя аналогично -ой строкой получим нули в -ом столбце в строках с номерами и т.д.
Замечание. Можно доказать, что если базисный минор матрицы стоит в первых столбцах, то можно получить матрицы указанного вида совершая элементарные преобразования только над строками.
Покажем это на примере.
Пример.
. Матрица имеет такое же строение, как и матрица, рассмотренная в следствии. Здесь единичная матрица имеет порядок 3, т.к. , роль матрицы выполняет матрица, стоящая в последних двух столбцах и первых трёх строках матрицы .
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Політика антивірусного захисту | | | Найдавніша історія України. |
Дата добавления: 2015-12-22; просмотров: 5767;