Свойства определителей

1.При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не меняется: . Вывод. Свойства определителей, сформулированных для строк, справедливы и для столбцов.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный. Например, .

3. Определитель равен нулю, если:

а) он имеет нулевую строку (столбец) ;

б) он имеет пропорциональные (одинаковые) строки (столбец) .

4. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя. Например, .

5.Определитель не изменяется, если к элементам какой-либо строки прибавить (вычесть) соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число.

Например, .

6.Если в определителе каждый элемент какой-либо строки есть сумма двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей:

.

7. Определитель произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц:

.

8. Определитель квадратной матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

.

Контрольные вопросы

Матрицы.

1. Дайте определение матрицы и укажите ее виды.

2. Как проводятся линейные операции над матрицами - сложение матриц, умножение на число?

3. Даны матрицы . При каких условиях на определены матрицы ?

4. Как умножить матрицу на матрицу? Запишите условие, которому должны удовлетворять первая и вторая матрицы-сомножители.

5. Как найти любой элемент произведения матриц?

6. Даны матрицы . При каких условиях на определены матрицы ?

7. Запишите свойства суммы и произведения матриц.

8. Какая матрица называется транспонированной к данной? Составьте матрицу и транспонируйте ее. Какова ее размерность? Запишите свойства операции транспонирования.

9. Какая матрица называется единичной? Нулевой? Приведите примеры.

10. Запишите элементы матрицы и элементы матрицы .

Определители

11. Что называется определителем второго порядка?

12. Как вычислить определитель 3 порядка по правилу треугольников?

13. Сформулируйте основные свойства определителей.

14. В каком случае определители равны нулю? Приведите примеры.

15. Представьте определитель в виде суммы двух определителей.

16. Запишите определитель третьего порядка треугольного вида. Как его вычислить?