Течение газов без трения

Газодинамический анализ движения газов в каналах осуществляется с использованием уравнения Эйлера, которое при одномерном течении без трения, если пренебречь удельной силой тяжести, имеет вид

.

При изотермическом течении идеального газа из уравнения Менделеева-Клапейрона следует

.

После подстановки

.

Интегрирование дает соотношение, которое называют уравнением Бернулли для газа

.

Возвращаясь к уравнению движения и используя уравнение неразрывности в логарифмических дифференциалах

где ω – площадь поперечного сечения канала,

найдем

.

Имея в виду, что скорость звука в идеальном газе равна

а отношение скорости потока к скорости зука называется числом Маха

.

после преобразований получим формулу Гюгонио

.

Отсюда следует, что если на входе число Маха меньше √1/k (для двух-атомных газов М < 0,845), то в суживающемся канале происходит ускорение потока и снижение давления, а в расширяющемся – торможение потока и повышение давления.

Скорость на выходе находят решением уравнения

.

Изотермичность потока в каналах с переменной площадью поперечного сечения обеспечивается, как следует из уравнения сохранения энергии, подводом или отводом тепла в количестве

.

В каналах с постоянным поперечным сечением скорость потока и давление не меняются, а теплообмен с внешней средой отсутствует.

При адиабатном течении газа без трения давление и температура газа связаны соотношением

.

Подстановкой в дифференциальное уравнение движения и интегрированием получаем уравнение Бернулли в форме

.

В этом случае формула Гюгонио имеет вид

.

В суживающихся каналах скорость газа возрастает, если на входе М<1.
В расширяющихся каналах она падает.

Учитывая, что в адиабатном процессе параметры газа связаны соотно-шением

найдем скорость на выходе и массовый расход

.

.

Максимально возможная пропускная способность суживающихся каналов достигается при истечении со скоростью звука. Для двухатомных газов, в том числе и для воздуха, такой режим устанавливается, если отношение давлений равно р2/р1 = 0,528. Этому соответствует расход

.