Представление целых чисел без знака и со знаком

Введем основные понятия на примере 4-битовых машинных слов. Такой размер слова обеспечивает хранение десятичных чисел только от 0 до 15 и поэтому не представляет практического значения. Однако они менее громоздки, а основные закономерности, обна­руженные на примере 4-битовых слов, сохраняют силу для машин­ного слова любого размера.

Предположим, что процессор ЭВМ способен увеличивать (прибавлять единицу) и дополнять (инвертировать) 4-битовые слова. Например, результатом увеличения слова 1100 является 1101, а ре­зультатом дополнения этого слова является 0011. Рассмотрим слово 0000, представляющее десятичное число 0. В результате увеличения содержимое этого слова станет равным 0001, что соответствует десятичному числу 1. Продолжая последовательно увеличивать 4-битовые слова, придем к ситуации, когда, увеличивая слово 1111 (которое представляет десятичное число 15), получим в результате слово 0000, т. е. 111+1 = 0000 (15+1=0), при этом получили неверную арифметическую операцию и вернулись в исходное состояние. Это произошло из-за того, что слово памяти может состоять только из конечного числа битов. Таким образом, числовая система ЭВМ является конечной и цикличной.

Такой ситуации, приводящей к неверному арифметическому результату, можно избежать, если битовую конфигурацию 1111 принять за код для -1. Тогда 1110 интерпретируется как -2; 1101 – 3 и т.д. до 1000 – 8. Тем самым получили другую числовую систему – со знаком, содержащую как положительные, так и отрицательные числа. В этой системе половина четырехбитовых конфигураций, начинающаяся с единицы, интерпретируется как отрицательные числа, а другая половина, начинающаяся с 0, – как положительные числа или нуль. Поэтому старший бит числа (третий по счету, если нумерацию битов начинать с нуля справа налево) называется знаковым битом. Числовая система со знаком также конечна и циклична, однако в этом случае арифметически неверный результат даст попытка увеличить число 8 на единицу. Преимущество введения числовой системы со знаком заключается в возможности представления как положительных, так и отрицательных чисел.

Если знаковый бит равен нулю, то значение числа легко вычисляется - игнорируется знаковый бит, а оставшиеся три бита интерпретируются как двоичный код десятичного числа. Например, слово 0110 представляет двоичное число 110, которое равно десятич­ному числу 6.

Для оценки отрицательного числа нужно изменить его знак. Рассмотрим четырехбитовое число k в системе со знаком. Тогда –k = (-1-k)+1, следовательно, для вычисления значения - k необхо­димо вычесть k из -1 (т.е. из 1111) и затем прибавить 1 (т.е. 0001). Заметим, что операция вычитания всегда возможна, никогда не требует заема и равнозначна операции инвертирования битов вычитаемого. Например, 1111 - 1011 = 0100, здесь в вычитаемом, равном 1011, единицы перешли в нули, а нуль - в единицу. Инвертирование битов в слове называется дополнением до единицы. Для определения отрицательного значения числа k надо к его до­полнению до единицы прибавить единицу (согласно вышепри­веденному равенству). Инвертирование битов в слове с добавлением единицы к младшему биту называется дополнением до двух. Нап­ример, требуется найти, какое число закодировано в слове 1001. Для этого сначала выполняем операцию инвертирования 1001®0110, а затем к полученному результату прибавляем единицу 0110+1 = 0111, что является двоичным кодом числа 7. Таким образом, значением 1001 является отрицательное 7, т.е. -7.

Представление символьной информации в ЭВМ

В отличие от обычной словесной формы, принятой в письменном виде, символьная информация хранится и обрабатывается в памяти ЭВМ в форме цифрового кода. Например, можно обозначить каждую букву числами, соответствующими ее порядковому номеру в алфавите: А - 01, Б - 02, В - 03, Г - 04, ... , Э - 30, Ю - 31, Я - 32. Точно так же можно договориться обозначать точку числом 33, запя­тую - 34 и т.д. Так как в устройствах автоматической обработки ин­формации используются двоичные коды, то обозначения букв надо перевести в двоичную систему. Тогда буквы будут обозначаться следующим образом: А - 000001, Б - 000010, В - 000011, Г - 000100, ... , Э - 011110, Ю - 011111, Я - 100000. При таком кодировании любое слово можно представить в виде последовательности кодовых групп, составленных из 0 и 1. Например, слово ЭВМ выглядит так: 011110000011001110.

При преобразовании символов (знаков) в цифровой код между множествами символов и кодов должно иметь место взаимно­-однозначное соответствие, т.е. разным символам должны быть наз­начены разные цифровые коды, и наоборот. Это условие является единственным необходимым требованием при построении схемы преобразования символов в числа. Однако существует ряд прак­тических соглашений, принимаемых при построении схемы преоб­разования исходя из соображений наглядности, эффективности, стандартизации. Например, какое бы число ни назначили коду для знака О (не следует путать с числом 0), знаку 1 удобно назначить число, на единицу большее, чем код О, и т.д. до знака 9. Аналогичная ситуация возникает и при кодировке букв алфавита: код для Б на единицу больше кода для А, а код для В на единицу больше кода для Б и т. д. Таким образом, из соображений наглядности и легкости запоминания целесообразно множества символов, упорядоченных по какому-либо признаку (например, лексико-графическому), коди­ровать также с помощью упорядоченной последовательности чисел.

Другим важным моментом при организации кодировки сим­вольной информации является эффективное использование опера­тивной памяти ЭВМ. Так как общеупотребительными являются при­мерно 100 знаков (сюда помимо цифр, букв русского и английского алфавитов, знаков препинания, арифметических знаков входят знаки перевода строки, возврата каретки, возврата на шаг и т.п.), то для взаимно-однозначного преобразования всех знаков в коды достаточно примерно сотни чисел. Значение этого выбора заключается в том, что для размещения числа из этого диапазона в оперативной памяти достаточно одного байта, а не машинного слова. Следовательно, при такой организации кодировки достигается существенная экономия объема памяти.

При назначении кодов знакам надо также учитывать соглашения, касающиеся стандартизации кодировки. Можно назначить знаковые коды по своему выбору, но тогда возникнут трудности, связанные с необходимостью обмена информацией с другими организациями, использующими кодировку, отличную от нашей. В настоящее время существует несколько широко распространенных схем кодирования. Например, код BCD (Binary-Coded Decimal) - двоично-десятичный код используется для представления чисел, при котором каждая десятичная цифра записывается своим четырехбитовым двоичным эквивалентом. Этот код может оказаться полезным, когда нужно преобразовать строку числовых знаков, например, строку из числовых знаков «2537» в число 2537, над которым затем будут производиться арифметические действия. Расширением этого кода является EBCDIC (Extended Binary-Coded Decimal Interchange Code) - расширенный двоично-десятичный код обмена информацией, который преобразует как числовые, так и буквенные строки.

В ЭВМ, начиная с типа PDP (или СМ) и по сегодняшний день в IBM PC применяется код ASCII (American Standard Code for Information Interchange) - американский стандар­тный код обмена информацией. Этот код генерируется некоторыми внешними устройствами (принтером, АЦПУ) и используется для об­мена данными между ними и оперативной памятью ЭВМ. Например, когда нажимаем на терминале клавишу G, то в результате этого действия код ASCII для символа G (1000111) передается в ЭВМ. А если надо этот символ распечатать на АЦПУ, то его код ASCII должен быть послан на печатающее устройство.

Отечественной версией кода ASCII является код КОИ-7 (двоич­ный семибитовый код обмена информацией), который совпадает с ним, за исключением букв русского алфавита.

Форматы данных

Под данными будем понимать информацию, представленную в виде, пригодном для обработки автоматическими средствами, например, в двоичном коде. Формат представления данных в памяти ЭВМ зависит от ее архитектуры.

Данные, обрабатываемые ЭВМ, делятся на три группы: логи­ческие коды, числа с фиксированной запятой и числа с плавающей запятой.

Представление логических кодов. Логические коды могут размещаться в отдельных байтах и в словах. Для их представления используются все разряды: для байта от 0-го до 7-го, для слова - от 0-го до 15-го. Логическими кодами могут быть представлены символьные величины, числа без знака и битовые величины.

Символьные величины задаются в коде ASCII (КОИ-7), каждый символ занимает один байт, разряд 7 которого всегда содержит 0. Символы строки размещаются в последовательно-адресуемых байтах оперативной памяти. Например, символьная строка ABCDE (коды ASCII: A- 101₈,B- 102₈,C- 103₈, D- 104₈,Е- 105₈), первый знак которой помещается в ячейку с адресом 1000 (адреса представлены в 8-ричной системе счисления), размещается в оперативной памяти следующим образом:

1001 1000

1003 1002

1005 1004

Числа без знака имеют диапазон представления от 000 до 377₈ -для байта, от 000000 до 177777₈ - для слова. Битовые величины задают значения отдельных разрядов байта или слова.

Представление чисел в формате с фиксированной запятой. Числа с фиксированной запятой могут занимать байт или слово. Если число с фиксированной запятой занимает байт, то для его представ­ления используются разряды с 0-го по 6-й. Разряд 7 называется знаковым. При размещении числа с фиксированной запятой в слове для его представления используются разряды с 0-го по 14-й. Знак числа содержится в разряде 15. Значения знакового разряда: 0 - для положительных чисел; 1 - для отрицательных чисел.

Отрицательные числа в формате с фиксированной запятой представляются в дополнительном коде (посредством операции до­полнения до 2-х).

Таблица 3.7 Примеры представления чисел с фиксированной запятой

Диапазон представления чисел с фиксированной запятой: для байта - от - 128₁₀ до +127₁₀; для слова - от –32768₁₀ до +32767₁₀. При выполнении операций над числами, представленными в формате с фиксированной запятой, они масштабируются таким образом, чтобы каждое число лежало в интервале (-1, +1). Другими словами, в этом случае ЭВМ оперирует только с числами, по модулю не превос­ходящими единицы. При этом необходимо следить за тем, чтобы в результате операций результат не получился большим, чем 2^k - 1, где k - число разрядов, отведенных для представления в машине. Такая опасность есть при выполнении операций сложения и деления. Опас­ность представляют также операции вычитания и умножения. При вычитании может получиться так, что разность станет числом меньшим, чем представляется в машине, и результат исчезнет. При многократном умножении (из-за того, что умножаются числа, мень­шие единицы) может произойти то же самое. Поэтому при ис­пользовании формата представления чисел с фиксированной запятой приходится следить как за случаями возможного переполнения разрядной сетки машины, так и за случаями, связанными с появ­лением машинного нуля. Необходимость постоянно следить за тем, чтобы числа в машине не вышли за пределы интервала (-1, +1), а так­же неизбежное в таких устройствах накопление абсолютной погреш­ности вычислений из-за перемасштабирования, при котором цифры младших разрядов (а именно в них накапливается абсолютная погрешность) передвигаются в старшие разряды, привели к тому, что в универсальных ЭВМ представление чисел с фиксированной запятой практически перестало применяться. Оно сохраняется в специализированных вычислительных системах, где диапазон изменения чисел заранее проанализирован, в некоторых микропроцессорах и микро-ЭВМ.

Представление чисел в формате с плавающей запятой. Любое вещественное число х, представленное в системе счисления с осно­ванием N, можно записать в виде

x=±mN^±p ,

где m - мантисса, р - характеристика (или порядок) числа.

Если |m| < 1, то запись числа называется нормализованной слева. Следующие примеры показывают, как можно представить любое число в форме с плавающей запятой:

а) в десятичной системе счисления

372,95 = 0, 37295´10³;

25 = 0,025 ´10³ = 0,25 ´10²;

0,0000015 = 0,15 ´ 10^-5 = 0,015 ´ 10^-4;

б) в двоичной системе счисления

11010, 1101 = 0,0110101101 ´ 2⁶;

0,011011=0,11011 х2^-1;

0,1=0,1x2⁰

(здесь порядок определяет, на сколько разрядов необходимо осуществить сдвиг относительно запятой).

Из этих примеров видно, что представление чисел в форме с плавающей запятой неоднозначно. В ЭВМ с целью минимизации погрешности при вычислениях и эффективного использования памя­ти применяют процедуру нормализации справа.

Число называют нормализованным справа, если после запятой в мантиссе стоит не нуль. В дальнейшем под нормализацией числа будем понимать норма­лизацию справа.

Нормализованное число одинарной точности, представленное в формате с плавающей запятой, записывается в память следующим образом: знак числа - в бите 15 первого слова (0 - для положитель­ных и 1 - для отрицательных чисел); порядок размещается в битах 7 -14 первого слова, а мантисса занимает остальные 23 бита в двух словах. Нормализованное число двойной точности записывается в четыре слова памяти и отличается от представления чисел одинарной точностью только тем, что продолжение мантиссы размещается в следующих за первым трех последовательных словах памяти, а всего под мантиссу в этом случае отводится 55 бит.

Порядок числа с плавающей запятой изменяется в диапазоне от -128₁₀ (200₈) до +127₁₀ (177₈) и запоминается увеличенным на 128₁₀ (200₈). Такой способ представления порядка называется смещенным.

Следует иметь в виду, что хотя для мантиссы отведены 23 разряда -для чисел одинарной точности и 55 разрядов - для чисел двойной точности, в операциях участвуют 24 и 56 разрядов соответственно, так как старший разряд мантиссы нормализованного числа не хранится, т.е. имеет место так называемый скрытый разряд. Однако при аппаратном выполнении операций этот разряд автоматически восстанавливается и учитывается при выполнении операций. Порядок числа также учитывает скрытый старший разряд мантиссы.

Также заметим, что нормализованная мантисса в двоичной системе счисления всегда представляется десятичным числом т, лежащим в диапазоне 0,5 £ m < 1.

Примеры представления чисел с плавающей запятой.

1)0,1₁₀ = 0,0(6314)₈ = 0,000(1100)₂ = 0,(1100)₂´2^-3; -3₁₀ = (-3 + 200)₈ = 175₈ = 01111101₂.

Заметим, что в этом примере мантисса представлена бесконечной периодической дробью, поэтому последний учитываемый разряд мантиссы округляется.

2) -49,5₁₀ = -61,4₈= -110001,100₂ = -0,1100011₂´2⁶; 6₁₀ = (6 + 200)₈ = 206₈ = 10000110₂.

При выполнении арифметических операций над числами, представленными в формате с плавающей запятой, надо отдельно выполнять их для порядков и мантисс. При алгебраическом сложении чисел надо сначала уравнять порядки слагаемых. При умножении порядки надо складывать, а мантиссы перемножать. При делении из порядка делимого вычитают порядок делителя, а над мантиссами совершают обычную операцию деления. После выполнения операций необходимо провести нормализацию результата, если это необхо­димо, что приводит к изменению порядков, так как каждый сдвиг на один разряд влево соответствует уменьшению порядка на единицу, а сдвиг вправо - увеличению его на единицу. Введение термина «плавающая запятая» как раз и объясняется тем, что двоичный порядок, определяющий фактическое положение запятой в изоб­ражении числа, корректируется после выполнения каждой арифме­тической операции, т.е. запятая в изображении числа плавает (изменятся ее положение) по мере изменения данной величины. А в изображении чисел с фиксированной запятой - запятая жестко зафиксирована в определенном месте.

Арифметические операции с числами в форме плавающей запятой намного сложнее таких же операций для чисел с фиксированной запятой. Но зато плавающая запятая позволяет производить операции масштабирования автоматически в самой машине и избавляет от накопления абсолютной погрешности при вычислениях (хотя не избавляет от накопления относительной погрешности).

Лекция №4.