Динамические резервы

Связь поставщика и потребителя осуществляется через потоки. Ритм прибывающих потоков и ритм работы предприятия-получателя далеко не всегда совпадают. Этому есть ряд причин - неравномерность работы поставщика и потребителя, колебания времени доставки. Для полного обеспечения потребности получателя в конечном пункте требуются резервы (груза, вагонов с грузом и т.п.). Для устойчивой работы отправителя в начальном пункте связи также должен быть резерв (например, порожняка). Требуются, соответственно, и резервные пути. Так вот резервные вагоны, стоящие на резервных путях, и называются резервами (статическими в данном случае). Если за счет управления удастся уменьшить рассогласование ритмов работы производства и транспорта, то надежную связь можно обеспечить с меньшими резервами. В этом случае функцию резервов частично возьмет на себя управление.

Допустим, в среднем по некоторой струе потока в перевозках участвует вагонов. При возникновении запасов вагонов в начале и конце связи число вагонов может достигать величины . Разница и будет статический резерв по струе

.

Общий резерв по всем струям будет равен их сумме:

= .

За счет управления величина уменьшается до величины . Разница = называется динамическим резервом. То есть, суммарные резервы всегда включают в себя фактические резервы и динамические резервы , которые являются резервами только по выполняемой функции

= + .

Чем более развито управление, тем больше величина и тем меньше .

12.1. Управлениеоднородными потоками

Динамические резервы первого рода возникают при управлении однородными потоками (потоками руды от горнообогатительных комбинатов к металлургическим заводам, угля от шахт к ТЭЦ и заводам и т.п.). Так как колебания потоков и ритмов работы вызываются в значительной мере случайными причинами, то с определенной вероятностью избыток вагонов по одним струям совпадает с недостатком по другим. Чем больше струй, тем больше вероятность. Исследования показывают, что по потокам угля к металлургическим заводам математическое ожидание вероятности составляет 0,35 ¸ 40 и эта вероятность редко опускается ниже 0,25 .

Математический аппарат для оптимизации управления такого рода - динамическая транспортная задача с задержками.

Основным результатом является улучшение управления однородными потоками. Существовавшие подходы, такие, как транспортная задача в традиционной постановке, позволяла рассчитать одну, оптимальную в смысле затрат на перевозки, схему потоков. При этом должно было существовать согласование по суммарному производству и потреблению. Однако для изменившихся условий требуется другая схема. И смена схем вызывает переходный процесс. В переходном процессе часть потоков по инерции идет по старой, уже не оптимальной для новых условий схеме. И избыток груза отправляется на склад. Другая часть потоков отправляется по новой схеме, но достигнет получателя только через время хода. Возникшую увеличенную потребность приходится компенсировать из запаса. Таким образом, оптимум будет представлять собой динамический процесс, состоящий из рациональных схем потоков для стабильных ситуаций и рациональных переходных процессов между ними. При этом критерием является минимум суммарных затрат на перевозки и резервы груза у получателей для устранения временного дисбаланса между прибытием и потреблением.

В динамической транспортной задаче с задержками удалось впервые отобразить это. Критерий формируется следующим образом (упрощенная постановка):

,

где - поток от -го поставщика к -му потребителю, отправившейся в момент ;

- резерв груза (в вагонах или на складе) у -го потребителя;

- стоимость доставки единицы груза от -го отправителя к -му получателю;

- стоимость хранения единицы груза у -го получателя.

Таким образом, слагаемое отличается от аналогичной суммы для традиционной постановки учетом динамики (движения потоков во времени). Слагаемое является новым, отображающим затраты на содержание резервов. Так как во время перехода возникает дисбаланс между прибытием и потреблением (переход занимает определенное время), то балансные ограничения меняются. Если в традиционной постановке балансное уравнение у потребителя имеет вид:

,

где - объем потребления у -го потребителя.

То есть суммарное потребление в точности равно объему прибытия ото всех поставщиков за весь расчетный период. То в динамической задаче это уравнение имеет вид:

,

где - потребление в момент ;

- время хода от -го отправителя до -го получателя;

- потребление груза из запаса или отправление в запас.

Динамическая транспортная задача может быть в сетевой постановке и тогда можно отражать пропускную способность отдельных направлений в динамике

.

Таким образом, динамическая транспортная задача с задержками является эффективным аппаратом для расчета эффекта от изменения управления однородными грузопотоками. Она позволяет определить минимально необходимые резервы груза у потребителей и их динамику. А это главный эффект управления.

12.2. Управлениеразнородными потоками

Динамические резервы второго рода возникают при взаимодействии разнородных струй, если в пропуске участвуют одни и те же технические средства (локомотивы, станции, перегоны). В условиях неравномерности возникают межоперационные простои составов - в ожидании обработки в парке приема или отправления, поездного локомотива, нитки графика. Полностью их устранить нельзя, потому что пришлось бы иметь неоправданно высокий резерв пропускной способности. Если дать «зеленую улицу» одной струе и задержать другую, (сохраняя скорость продвижения потоков в среднем), то получится эффект наличия резервов. Пусть есть две струи - и (допустим), поток руды и поток угля, идущие на один и тот же завод. Пусть время хода от пункта регулирования – . Следовательно, в пути следования будет находиться:

,

вагонов.

Допустим, ускоряя одну струю (как бы перебрасывания межоперационные простои с одной струи на другую) мы уменьшаем время хода на одной струи и увеличивая второй - . Тогда в пути будет находиться:

по первой струе	;
по второй струе	.

При этом .

В среднем, ничего не изменилось. Но первая струя как бы «выдавила» из себя ,

а вторая - «поглотила» .

Если по первой струе была нехватка у потребителя, и нужно было бы привлекать вагоны из статического резерва, то добавочно привезенные смягчат эту проблему и уменьшат требуемый в данный момент статический резерв на эту величину. Если одновременно по второй струе у потребителя был избыток, и приходящие вагоны должны были бы отставляться в резерв, то замедление струи позволит «поглотить» вагонов и тем самым опять же уменьшит статический резерв. Вследствие случайности колебаний с определенной вероятностью будет совпадать необходимость ускорения по одной струе и необходимость замедления по другой. Статистические наблюдения позволят определить средний уровень совпадения и, соответственно, уровень на который можно понизить статические резервы. Естественно, должен быть целый набор маршрутов, по которым движутся разнородные струи. Величина, на которую можно снизить суммарные статические резервы за счет управления разнородными потоками и будет динамическим резервом второго рода.

Размер динамических резервов второго рода можно определить с помощью динамической транспортной задачи с управляемыми задержками.

Суть этой модели состоит в следующем. Ускорение продвижения одной из струй – это смена режима ее пропуска. Обычно таких режимов может быть лишь несколько (два-три). Скажем, пропуск потока в отправительских маршрутах, технических маршрутов дальних назначений, технических маршрутов ближних назначений, участковых поездах. Кроме того, можно присваивать поездам, осуществляющим продвижение потока, приоритет. В динамической задаче с управляемыми задержками между каждыми двумя пунктами на сети проводится не одна, а несколько связей с различным временем хода и разными затратами на перевозку (чем быстрее, тем дороже).

В этом случае поток может пойти по разным схемам пропуска. Скажем, уголь - идет по схеме ускоренного пропуска , а руда - - по схеме замедленного пропуска. Естественно, ограничения по пропускной способности будут задаваться общими для всех грузов. Функционал будет учитывать суммарные затраты по всем схемам перевозки и требуемые суммарные резервы

,

где – номер схемы пропуска;

– резервы груза разного рода у -го получателя.

12.3. Гибкое взаимодействие производства и транспорта

Возможности адаптации у транспортной системы не безграничны. При слишком большом рассогласовании ритмов работы производства и потребления транспорт может выступать ограничивающим звеном, или резервы пропускной способности будут неоправданно велики. В этом случае нужно рассматривать всю систему «поставщики – транспорт – потребители», как управляемую. Не только транспорт подстраивается к производству, но и ритмы производства подстраиваются к ритмам потребления и возможностям транспорта. Возникает более высокий уровень взаимодействия в производственно-транспортной системе. И организация такого уровня – это важная практическая задача.

Примеры.

1. Система «поставщики угля – железнодорожный транспорт – крупные потребители угля». Каждый поставщик коксующегося угля отправляет уголь 10¸15 металлургическим заводам, и каждый завод получает его от 10¸12. Если рассчитать программу отгрузки угля в динамике с учетом времени хода до различных получателей, ритма ожидаемого потребления и груза в пути, то можно так согласовать работу всех подсистем, что потребные статические резервы можно уменьшить без снижения надежности транспортных связей.

2. Система транспортного обслуживания производства в экономическом регионе. На Урале до 75 % экономических связей между предприятиями замыкается внутри региона. Для работы производства важно, чтобы весь набор грузов подвозился согласованно и своевременно. Отсутствие одного исходного продукта может остановить производственный процесс. В этом случае транспорт может играть более важную роль – своевременное обеспечение производства всеми видами продукта. Его работа уже не может рассматриваться как тоннокилометровая, а насколько эффективно он обеспечивает производство. Однако и отправителям нужно работать согласованно с транспортом в адаптивном режиме. Все это может дать больший системный эффект и, в частности, снизить суммарные требуемые резервы вагонов.

Таким образом, согласованная, управляемая работа производителя и транспорта в системе «отправители – транспорт – получатели» позволяет еще снизить статические резервы вагонов для обеспечения надежных транспортных связей. Величина снижения и будет уровнем динамических резервов третьего рода.

Размер этих резервов можно рассчитать с помощью метода динамического согласования.

Для объяснения метода необходимо коснуться способа компьютерной реализации динамических задач. Для решения динамическая задача сводится к статической «размножением» сети во времени и затем решается как стандартная транспортная задача или общая задача линейного программирования. При «размножении» каждые узел и дуга сети повторяются столько раз, сколько тактов в расчетном периоде. Таким образом, пункт отправления А1 превращается в множество пунктов ( , , , …), где, скажем, пункт означает, что это пункт А1 в момент времени t = 2. Между ними проводятся связи от начала к концу, по которым идут потоки , что означает движение резервов во времени (но не в пространстве). Поток превращается в множество потоков . Корректировка режимов работы отправителей осуществляется в виде потоков , которые идут как бы в обратном времени. Поток означает, что у потребителя А1 нужно увеличить отправление в момент времени t = 2 на величину и уменьшить отправление в момент t = 3 на эту же величину. Естественно, корректировка начинается тогда, когда возможности транспорта по согласованию ритмов производства и потребления (с учетом управления однородными и неоднородными потоками) исчерпаны. Это обеспечивается заданием стоимости для потоков большей, чем максимальная стоимость перевозок. В функционал добавляется слагаемое

.

Таким образом, метод динамического согласования позволяет оценивать эффект от улучшения взаимного согласования ритмов работы производства и потребления и режима работы транспорта.

Модель оптимизации распределения порожних маршрутов (пример)

На дороге обращаются кольцевые маршруты, перевозящие различные грузы. Составы таких маршрутов унифицированы по весу и длине, тип вагонов в каждом маршруте однородный. В порожнем состоянии составы из одинаковых вагонов, задействованные на перевозках одного груза, взаимозаменяемы для подачи под погрузку на различные станции. Существует частичная взаимозаменяемость между составами из-под разного груза, но она значительно ограничена требованиями к качественной очистке и техническому состоянию вагонов. Требуется так спланировать распределение порожних кольцевых маршрутов под погрузку на станции дороги, чтобы затраты на их перевозку, простой в ожидании погрузки и ущерб от опоздания к намеченному моменту погрузки были минимальны. Большое значение здесь имеет горизонт планирования или период на который рассчитывается план распределения.

В настоящее время предварительной информации, практически, не существует. Дорожный диспетчер не имеет прогноза хотя бы на сутки о моментах окончания ожидаемой выгрузки маршрутов. По сути, он выбирает пункт погрузки для каждого порожнего маршрута в отдельности. Естественно, получившейся в конце концов план распределения, то есть прикрепление пунктов отправления к пунктам назначения, получается нерациональный. Чем больше глубина прогноза, тем большее число маршрутов рассматривается одновременно в расчете оптимального плана, тем эффективнее общий динамический процесс управления.

Случайные факторы не оказывают на эффект большого влияния, так как на большом полигоне их действие нивелируется усреднением. На одном участке маршрут прошел медленнее, зато на другом – быстрее. Ничего не дает и учет структуры станций, через которые пролегает путь следования, ибо проходящий маршрут касается их в малой степени. Учет укрупненной структуры, то есть графа маршрутов следования, необходим. Метод расчета имеет очень большое значение. Если в рассмотрении находятся только 10 маршрутов (а реально их порядка 60-80), то число разумных вариантов в динамике уже будет тысячи. Сравнить их за короткий срок диспетчеру на представляется возможным. Поэтому здесь в качестве расчетной модели выбирается динамическая транспортная задача с задержками.

Формальная постановка задачи

На дороге имеется пунктов распределения составов порожних маршрутов, которыми в основном являются станции выгрузки, и станций погрузки, на которые они должны быть направлены. Следовательно расчетная сеть содержит множество поставщиков и потребителей порожних маршрутов, где

- станция выгрузки маршрутов;

- станция погрузки маршрутов.

По указанным в предыдущем пункте причинам составы маршрутов ограниченно взаимозаменяемы. Поэтому следует разделить их на типов. Пусть [ 0,T ] - интервал оптимизации. Обозначим для каждого момента времени :

- количество порожних маршрутов типа , , отправленных со станции выгрузки на на станцию погрузки в момент времени ;

- стоимость транспортировки состава маршрута - того типа от - той станции выгрузки до - той станции погрузки;

- количество распределяемых составов маршрутов - того типа со станции выгрузки в момент времени ;

- количество составов маршрутов типа необходимое в момент времени на станции погрузки .

Количество составов маршрутов, предназначенных к распределению, сбалансировано с заявленным к погрузке в целом и по типу составов.

,

.

Однако внутри периода планирования могут возникать интервалы, в течение которых будет наблюдаться дисбаланс между объемом распределяемых составов и потребностью в них

,

где - время движения.

Если предложение составов превышает потребность в них, то возникают дополнительные простои. Если потребность превышает предложение, то возникает ущерб от недопоставки составов к намеченным моментам. Обозначим для каждого момента времени :

- запас составов маршрутов - того типа в пункте назначения в момент времени ;

- неудовлетворенный спрос в маршрутах - того типа на станции погрузки в момент времени ;

- стоимость простоя одного маршрута - того типа на станции погрузки ;

- ущерб от опоздания одного состава - того типа на станцию погрузки на единицу времени.

Задача решается минимизацией функционала:

.

При ограничениях:

- на баланс потоков на станциях выгрузки

;

- на баланс потоков на станциях погрузки

;

- на неотрицательность переменных и пропускную способность

,

,

,

где - пропускная способность участка между - той станцией выгрузки маршрутов и - той станцией погрузки;

- наибольшее количество маршрутов всех типов, которые могут ожидать погрузки на - той станции погрузки.

Подсистема расчета режима расформирования составов на сортировочных станциях (пример)

Цель данной подсистемы – определить наилучший режим расформирования поездов, обеспечивающий ускорение накопления составов при заданном плане формирования поездов, известных состоянии сортировочного парка, парка прибытия, прогнозе поступления поездов в расформирование и их составах. Для этого используется один из классов оптимизационных потоковых моделей - динамическая транспортная задача с задержками в многопродуктовой постановке(М-ДТ33). Она позволяет получить такое протекание потоков, чтобы максимально обеспечить накопление составов по назначениям к требуемому времени, учитывая длительность расформирования и ограничения по перерабатывающей способности.

В общем виде М-ДТЗЗ предназначена для оптимизации согласования ритмов производства, перемещения и потребления неоднородной продукции. Для рассматриваемой задачи потребовалась специальная трактовка М-ДТ33. «Пунктами производства» выступают пути в парке приема. На этих путях появляются составы, содержащие разные виды «продукции» - группы вагонов разных назначений. «Пунктом потребления» определенного вида «продукции» является путь в сортировочном парке, специализированный для накопления вагонов на данное назначение.

На расчетной потоковой схеме (рис. 1) потоки разных назначений движутся с каждого пути приема А₁, А₂, …, А_i на специализированные по назначениям сортировочные пути В₁, В₂, …, В_j через общий канал, интерпретирующий работу горки. Для него задано время расформирования и ограничение по перерабатывающей способности. Для путей приема заданы динамика появления составов и функция затрат, связанных с простоем одного вагона каждого назначения в приемном парке. Для сортировочных путей заданы ритм требуемого накопления составов по каждому назначению и функция затрат, связанных с простоем одного вагона каждого назначения в сортировочном парке. В последнюю могут быть введены:

§ оценки затрат, связанных с задержками на станции поездных локомотивов и локомотивных бригад в ожидании завершения накопления и готовности составов;

§ штрафы, обеспечивающие заданную пользователем приоритетность накопления составов (например, повышение приоритета при необходимости первоочередного формирования маршрутов из порожних полувагонов на сдачу, снижение приоритета для направлений, испытывающих затруднения в поездной работе или в пунктах выгрузки и др.).

М-ДТЗЗ формулируется следующим образом: требуется минимизировать суммарные затраты, связанные с нахождением вагонов на путях парка приема, с перемещением вагонов (во времени и в пространстве) с путей приема на сортировочные пути и с нахождением вагонов на путях сортировочного парка при ограничениях, задаваемых:

§ уравнениями динамики изменения количества вагонов каждого назначения плана формирования для путей приема;

§ уравнениями динамики изменения количества вагонов каждого назначения плана формирования для путей сортировочного парка;

§ начальными и конечными величинами групп вагонов каждого назначения на путях;

§ пропускными способностями дуг расчетной пространственно-временной сети;

§ условиями неотрицательности величин групп вагонов, перемещаемых из парка в парк и находящихся на путях.

Сформулированы также специальные ограничения, обеспечивающие взятие состава с приемного пути на горку целиком и исключающие ситуацию одновременного частичного расформирования составов с разных путей (чтобы М-ДТ33 не «надергала» нужных групп из разных составов в одном такте времени).

Поиск решения М-ДТЗЗ ведется на пространственно-временной сети, в которой все такты времени равны длительности горочного технологического интервала. При этом задача сводится к статической многопродуктовой транспортной задаче на сети, для которой имеются эффективные алгоритмы решения.

Затраты, связанные с простоем вагонов на путях парка приема, задаются больше, чем на сортировочных. За счет этого модель максимально «продвигает» составы к роспуску. «Неудовлетворенный спрос», то есть нехватка вагонов на состав, отражается в модели автоматическим введением фиктивных переменных.

Подсистема предварительного расчета определяет рациональную очередность роспуска составов и рассчитывает наиболее ранние возможные моменты завершения накопления составов. Проверить действительную реализуемость этих результатов можно только на имитационной модели станции, подробно воспроизводящей ее работу.

Формальная постановка задачи.

Предположим, что на сортировочную станцию поступают, перерабатываются и отправляются вагоны K назначений плана формирования поездов П. Обозначим через количество вагонов K назначений плана формирования поездов с расходами c_ij^K(t) на один вагон, поступающий на p_j в момент t и соответственно выходящий из p_i в момент t-t_ij. Совместное перемещение вагонопотоков ограничено общей пропускной способностью ν_ij(t) пути (p_i, p_j), i ≠ j.

Для «пункта производства» - пути приема p_i заданы «объемы производства» - динамика моментов появления составов с группами вагонов k-го назначения q_i^k(t), «запас» - наличие вагонов k-го назначения u_ii^k(t), а также функция штрафа (расходы) c_i^k(t) за нахождение одного вагона k-го назначения на пути емкостью ν_i(t) с момента t-1 до момента t.

Для «пункта потребления» - сортировочного пути p_j заданы «объемы потребления» - ритм накопления составов k-го назначения q_j^k(t), «запас» - наличие вагонов k-го назначения , функция затрат c_j^k(t), связанных с простоем одного вагона k-го назначения в сортировочном парке на пути емкостью ν_j(t) с момента t-1 до момента t.

В функцию c_j^k(t) могут быть введены:

- оценки затрат, связанных с задержками на станции поездных локомотивов и локомотивных бригад в ожидании завершения накопления и готовности составов;

- штрафы, обеспечивающие заданную пользователем приоритетность накопления составов (например, повышение приоритета при необходимости первоочередного формирования маршрутов из порожних полувагонов на сдачу, снижение приоритета для направлений, испытывающих затруднения в поездной работе или в пунктах выгрузки и др.).

Требуется минимизировать суммарные затраты, связанные с нахождением вагонов на путях парка приема, с перемещением вагонов (во времени и в пространстве) с путей приема на сортировочные пути и с нахождением вагонов на путях сортировочного парка

Тогда динамическая модель многопродуктовой транспортной задачи с задержками для m числа «пунктов производства» и n числа «пунктов потребления» может быть записана в следующем виде:

минимизировать функционал

где ,

а - текущее время «поставщика», меняющееся в интервале , при ограничениях, задаваемых:

а) уравнениями динамики изменения количества вагонов k-го назначения плана формирования для пути приема p_i:

б) уравнениями динамики изменения количества вагонов k-го назначения плана формирования для пути сортировочного парка p_j.

;

в) начальными и конечными величинами групп вагонов каждого назначения на путях:

;

г) пропускными способностями дуг расчетной пространственно- временной сети:

,

,

;

д) условиями неотрицательности величин групп вагонов, перемещаемых из парка в парк и находящихся на путях:

.

Рис. 8.

Задача расчета режима расформирования составов на сортировочных станциях

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках курса «Оптимизация транспортных систем» рассмотрены:

- различные постановки транспортных задач линейного программирования;

- способы решения транспортных задач на ПЭВМ – формализации задачи, представлении данных в общепринятом формате задачи линейного программирования, вводу данных в ПЭВМ и решению с применением стандартных пакетов решения задач линейного программирования;

- способы применения различных постановок транспортных задач для решения вопросов управления грузопотоками и вагонопотоками на больших полигонах транспортной сети.

- управляющие приемы эффективного поструйного управления грузопотоками на сети.

Это позволит будущим специалистам транспорта применять на практике современные оптимальные методы управления грузопотоками, что, в конечном итоге, приведет к более эффективному транспортному обслуживанию производства и клиентов транспорта.