Волновые уравнения и электродинамические потенциалы

Для решений уравнений электромагнитного поля их обычно приводят к волновым уравнениям. То есть уравнения Максвелла преобразуют волновые уравнения. Волновыми называются такие дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных, которые описывают распространение колебаний в среде. Они содержат наряду с пространственными производными второго порядка также вторые производные по времени. От уравнений Максвелла можно перейти к волновым уравнениям для:

- векторов электромагнитного поля;

- электродинамических потенциалов;

- волновым уравнениям для вектора Герца.

Для получения волнового уравнения, для исключим из уравнений Максвелла вектор . Для этого продифференцируем по времени первое уравнение Максвелла rotH=g_пр +g_сн-g_э^ст= g_э^ст + _э +𝜀_a =g_п

где g_э^ст - плотности стороннего электрического тока

_э проводимость среды

И умножим на

μ_a

μ_a μ_a ( _э^ст+ _э +𝜀_a ) (1).

Затем из второго уравнения Максвелла найдем rot*rot+

-μ_а = rot*rot rotE=- (2).

Изменим порядок дифференцирования в (1) и сложим уравнений (1) и (2).

Используй известное соотношение rot*rotE=grad*dive-Δ²E и учитывая третье уравнение Максвелла div =ρ будем окончательно иметь

˅²E-μ_a𝜀_a -μ_{a э} + μ_a (1)

Уравнение (1) называется обобщенным неоднородным векторным волновым уравнением в случае диэлектрика 𝛾_э=0 слагаемое уравнение μ_aγ_э и (1) переходит в неоднородное векторное волновое уравнение или векторное уравнение Даламбера. Если в области, в которой рассматривается электромагнитное поле γ_э=0 и отсутствуют накопленное ρ=0 и сторонние электрические заряды и токи то правая часть уравнения (1) равна нулю и оно приобретает вид однородного векторного волнового уравнения Δ ² - μ_a𝜀_a =0 (2)

Аналогично находят уравнения для вектора для этого необходим взять от обеих частей первого уравнения Максвелла взять rot , а второе уравнение продифференцировать во времени и полученный результат умножить на 𝜀_a .

После таких преобразований и сложений с учетом уравнения Максвелла будем иметь Δ ² - μ_a𝜀_a - μ_{a э} (3)

из уравнений (1) и (3) следует что они имеют один и тот же вид и отличаются только правой (известной) части.

При гармонических (монохроматических) источниках введения комплексных амплитуд позволяют упростить волновые уравнения поля. Так, например, после подстановки в место вводится комплексное значение _m*e^jwt после подстановки комплексных векторов в рассмотренные волновые уравнения и последующего деления обеих частей этого уравнения на временной множитель e^jwt получают следующие неоднородные дифференциальные уравнения

Δ ² + r² =

Δ ² + r²

где r² = w²μ_a𝜀_a – комплексное волновое число