Многокритериальные задачи оптимизации интегрированных цепей поставок, парето-оптимальность, схемы компромиссов

Многокритериальность — неотъемлемая часть большинства реальных ситуаций выбора и требует специальных методов анализа. Это свойственно и для задач оптимизации цепей поставок, которые, в основном, являются задачами оптимизации при многих критериях, поскольку существует необходимость комплексного учёта разнообразных факторов и показателей, каждый из которых требуется оптимизировать.

Множество рассматриваемых показателей при выборе маршрута поставки товара, как правило, классифицируют по трём группам: время, стоимость перевозки, надёжность доставки. Они характеризуются разной размерностью (денежные единицы, дни и т.п.), а также могут быть количественными или качественными. Данная специфика нередко приводит к феномену неадекватного выбора относительно системы предпочтений лица, принимающего решения — ЛПР (например, это феномены «слепоты» по отношению к показателям некоторых критериев, феномены доминирования показателей одних частных критериев над другими и др.).

Будем представлять принятие решения как действие над множеством альтернатив, в результате которого получается подмножество выбранных альтернатив. При этом множество альтернатив может быть непрерывным, но часто бывает дискретным. Сужение множества альтернатив возможно, если имеется способ сравнения альтернатив между собой и определения наиболее предпочтительных.

Каждый такой способ называется критерием предпочтения. При таком описании выбора считается, что уже сформировано множество альтернатив, на котором предстоит осуществлять выбор, определены цели, ради достижения которых производится выбор, имеются критерии оценки и сравнения любых альтернатив. В практической реализации эти этапы преодолеваются с определенными трудностями, связанными со сложностью логистических систем, недостаточной формализуемостью целей и др. Для преодоления этих сложностей необходимы свои приемы и методы.

Даже в приведенной упрощенной постановке проблема выбора не тривиальна и допускает существенно различающиеся математические постановки задач. Каждый компонент ситуации выбора может реализовываться в качественно различных вариантах, например:

множество альтернатив может быть конечным, счетным или континуальным;

оценка альтернативы может осуществляться по одному или по нескольким критериям, которые в свою очередь могут иметь как количественный, так и качественный характер;

режим выбора может быть однократным или повторяющимся, допускающим обучение на опыте;

последствия выбора могут быть точно известны (выбор в условиях определенности), иметь вероятностный характер, когда известны вероятности возможных исходов после сделанного выбора (выбор в условиях риска), или иметь неоднозначный исход, не допускающий введения вероятностей (выбор в условиях неопределенности);

ответственность за выбор может быть односторонней (в частном случае индивидуальной) или многосторонней; соответственно различают индивидуальный и групповой выбор;

степень согласованности целей при многостороннем выборе может варьироваться от полного совпадения интересов сторон (кооперативный выбор) до их противоположности (выбор в конфликтной ситуации).

Различные сочетания перечисленных вариантов приводят к многообразным задачам выбора.

Определив исходные положения проблемы выбора решений, можно сформулировать процедуру выбора решения как:

{V,F}⇒V*, (1)

где V - исходное множество вариантов;

F- функция, определяющая правило выбора;

V* - выбранное подмножество вариантов.

Существует ряд подходов к описанию процесса выбора: критериальное описание выбора, описание выбора на языке бинарных отношений, описание группового выбора, описание выбора как решение задачи оптимального управления. Рассмотрим понятия критерия и функции, определяющей правило выбора.

Каждую отдельно взятую альтернативу в задаче выбора можно оценить конкретным числом, и сравнение альтернатив сводится к сравнению соответствующих им чисел.

Пусть ν - некоторая альтернатива из множества V. Считается, что для всех ν∈ V может быть задана функция, которая называется критерием (критерием качества, целевой функцией, функцией предпочтения, функцией полезности и т.д.) и обладает тем свойством, что если альтернатива ν, предпочтительнее альтернативы v2, то ƒ(ν1) < ƒ(ν2).

Если теперь сделать еще одно важное предположение, что выбор любой альтернативы приводит к однозначно известным последствиям и заданный критерий ƒ(ν) численно выражает оценку этих последствий, то наилучшей альтернативой ν* будет та, которая обладает наименьшим значением критерия.

Сложность отыскания наилучшей альтернативы существенно возрастает, если необходимо оценивать их не по одному, а по нескольким критериям, качественно различающимся между собой. В логистических системах такая необходимость возникает довольно часто.

Итак, пусть для оценивания альтернатив используются несколько критериев f1(v),i =1,p. Теоретически можно представить себе случай, когда во множестве V окажется одна альтернатива, обладающая наименьшими значениями всех р критериев; она и будет наилучшей. Однако на практике такие случаи почти не встречаются.

Рассмотрим наиболее употребительные способы решения многокритериальных задач.

Метод скаляризации состоит в том, чтобы многокритериальную задачу свести к однокритериальной. Это означает введение суперкритерия, то есть скалярной функции векторного аргумента:

F(v) = G(f 1(v), f 2(v),..., f p(v)) . (2)

Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине F(v), выделив тем самым наилучшую в смысле этого критерия. Вид функции F(v) определяется тем, как мы представляем себе вклад каждого критерия в суперкритерий; обычно используют аддитивные и мультипликативные функции.

При данном способе задача сводится к минимизации суперкритерия. Очевидные достоинства объединения нескольких критериев в один суперкритерий сопровождаются рядом трудностей и недостатков, которые необходимо учитывать при использовании данного метода.

Не касаясь трудностей построения самой функции и вычислительных проблем ее минимизации, необходимо сказать, что упорядочение точек в многомерном пространстве в принципе не может быть однозначным и полностью определяется видом упорядочивающей функции. Суперкритерий играет роль этой упорядочивающей функции, и даже небольшое его изменение может привести к тому, что оптимальная в новом смысле альтернатива будет очень сильно отличаться от старой. Линейные комбинации частных критериев придают упорядочиванию смысл наилучшего направления изменения состояния системы.

Условная минимизация заключается в использовании того факта, что частные критерии обычно неравнозначны между собой - одни из них более важны, чем другие.

Наиболее явное выражение этой идеи состоит в выделении главного критерия и рассмотрении остальных как дополнительных, сопутствующих. Такое различие критериев позволяет сформулировать задачу выбора как задачу нахождения экстремума основного критерия, при условии, что значения остальных критериев будут находиться в определенных интервалах.

Метод уступок дает иную постановку задачи выбора. Пусть частные критерии упорядочены в порядке убывания их важности. Возьмем первый из них и найдем наилучшую по этому критерию альтернативу. Затем определим "уступку", то есть величину, на которую мы согласны уменьшить достигнутое значение самого важного критерия, чтобы за счет этой уступки попытаться увеличить, насколько возможно, значение следующего по важности критерия, и т.д.

Поиск альтернативы с заданными свойствами относится к случаю, когда заранее могут быть указаны значения частных критериев (или их границы), и задача состоит в том, чтобы найти альтернативу, удовлетворяющую этим требованиям, либо, установив, что такая альтернатива в исходном множестве отсутствует, найти альтернативу, которая подходит к поставленным целям ближе всего.

Удобным свойством этого метода является возможность задавать желательные значения критериев как точно, так и в виде верхних или нижних границ. Устанавливаемые значения критериев иногда называют уровнями притязаний, а точку или область их пересечения в пространстве критериев — целью или опорной точкой, идеальной точкой. Поскольку уровни притязаний задаются без точного знания структуры множества V, то в пространстве частных критериев, целевая точка может оказаться как внутри, так и вне V и тогда говорят о достижимости или недостижимости цели.

Теперь идея оптимизации состоит в том, чтобы, начав с любой альтернативы, приближаться к V* по некоторой траектории в пространстве V. Это достигается введением числовой меры близости между очередной альтернативой v и целью V*.

Можно по-разному количественно описывать эту близость. Например, используют евклидово расстояние.

Нахождение паретовского множества состоит в отказе от выделения наилучшей альтернативы и в соглашении о том, что предпочтение одной альтернативе перед другой можно отдавать, только если первая по всем критериям лучше второй. Если же предпочтение хотя бы по одному критерию расходится с предпочтением по другому, то такие альтернативы признаются несравнимыми. В результате парного сравнения альтернатив все худшие по всем критериям альтернативы отбрасываются, а все оставшиеся несравнимые между собой (недоминируемые) принимаются. Если все максимально достижимые значения частных критериев не относятся к одной и той же альтернативе, то принятые альтернативы образуют множество Парето и выбор на этом заканчивается.

При необходимости выбора единственной альтернативы следует привлекать дополнительные соображения: вводить новые, добавочные критерии и ограничения, либо бросать жребий, либо прибегать к услугам экспертов и т.д.