Теплообмен излучением между двумя непрозрачными серыми бесконечными плоскими поверхностями

Схема задачи представлена на рис.7.

Известно, что любое тело излучает энергию в виде электромагнитных волн (фотонов), порождённых переходами между энергетическими уровнями электронов в кристаллах (металлы), либо между энергетическими уровнями в молекулах жидкостей, аморфных тел или в макромолекулах биологических систем. Именно такое излучение описывается законом Стефана-Больцмана (если свойства поверхности близки к свойствам серых тел) и называется собственным излучением . Однако кроме собственного излучения любое тело, отличное от абсолютно чёрного, отражает падающее на него излучение от всех других излучающих тел, находящихся в условиях прямой «видимости». Естественно, разделить эти два потока излучения экспериментальными методами не представляется возможным, но в теоретическом отношении такое разделение вполне допустимо. Суммарный эффект электромагнитного излучения с поверхности непрозрачного тела определится тогда суммой

Результирующий лучистый поток определяется разностью лучистых потоков с первой плоскости на вторую и с второй на первую, т.е.

В соответствии с геометрией задачи следует, что всё излучение с левой (первой) плоскости попадает на левую (вторую) плоскость, что позволяет записать систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными :

Решение этой системы есть

Вычисляя разность эффективных лучистых потоков, получаем результирующий тепловой поток излучением

Учтя закон Стефана-Больцмана , определение степени черноты и то, что для непрозрачных тел , вместо получаем

Поскольку тепловой поток, какова бы ни была его природа, должен исчезать при равенстве температур взаимодействующих тел (чего требует II закон термодинамики), из последнего выражения однозначно следует, что

или

Значение постоянной легко находится из предельного значения степени черноты и поглощательной способности абсолютно чёрного тела, для которого откуда однозначно следует

что и составляет содержание ранее сформулированного закона Кирхгофа. Следует, однако, отметить, что закон Кирхгофа в данной интерпретации может считаться справедливым только при условии небольшой разницы температур между взаимодействующими телами.

Произведя в замену A на ε в соответствии с законом Кирхгофа, получаем

где величина

носит название приведённой степени черноты.