ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

Рассмотрим применение метода комплексных амплитуд в случае последовательного и параллельного соединений элементов R, L, С.

Последовательное соединение R, L, С.

Положим, что в уравнении Кирхгофа

(3.4)

заданными являются параметры R, L, С и гармоническое напряжение u = U_mcos(wt+y)на зажимах цепи, а искомой величиной является ток i. Ввиду того, что здесь рассматривается установившийся режим цепи гармонического тока, решение этого дифференциального уравнения должно дать гармоническую функцию вида

где I_m и (y – j) – пока неизвестные амплитуда и начальная фаза тока.

Пусть в соответствии с предыдущим параграфом заданное гармоническое напряжение символизируется комплексной функцией , а искомый гармонический ток – комплексной функцией , комплексные амплитуды напряжения и тока равны соответственно:

; .

Сложение, дифференцирование и интегрирование гармонических функций в уравнении (3.4) заменяются теми же математическими операциями над действительными частями комплексных функций:

. (3.5)

Операции над действительными частями комплексных функций могут быть заменены операциями над самими комплексными функциями с последующим выделением действительной части полученного результата. Объясняется это коммутативностью операций сложения, дифференцирования и интегрирования относительно символической операции Re. Итак, (3.5) преобразуется следующим образом:

Полученное уравнение удовлетворяется для любого момента времени. Поэтому заключенные в скобки комплексные выражения, от которых берется действительная часть, должны быть равны друг другу. Производя дифференцирование и интегрирование, получаем:

. (3.6)

Здесь следует обратить внимание на то, что при интегрировании функции е^j^w^t постоянная интегрирования опущена, так как в рассматриваемом установившемся режиме цепи гармонического тока электрические заряды или напряжения на емкостях представляют гармонические функции, не содержащие постоянных слагающих.

В результате сокращения всех частей уравнения (3.6) на множитель е^j^w^t получается алгебраическое комплексное уравнение

. (3.7)

Ток I_m может быть вынесен за скобки. При этом вводится условное обозначение для комплексного сопротивления рассматриваемой электрической цепи

. (3.8)

Таким образом, получается уравнение

, (3.9)

выражающее закон Ома для комплексных амплитуд.

Разделив обе части уравнения (3.9) на , получим закон Ома для комплексных действующих значений

. (3.10)

Следовательно, комплексное сопротивление электрической цепи равно отношению комплексного напряжения на зажимах данной цепи к комплексному току в этой цепи.

Комплексное сопротивление Z представлено в выражении (3.8) в алгебраической форме. Та же величина в тригонометрической и показательной (полярной) формах имеет вид:

(3.11)

Здесь – модуль комплексного числа Z – представляет полное сопротивление цепи, а j - аргумент комплексного числа Z:

; .

На основании (3.9) комплексная амплитуда тока

где y - φ – начальная фаза тока. Следовательно, искомый ток в тригонометрической форме

что совпадает с результатом, полученным ранее.

На рисунке 3.4 дана геометрическая интерпретация на комплексной плоскости уравнения (3.10). Рисунок 3.4, а относится к случаю, когда реактивное сопротивление цепи имеет индуктивный характер (Х > 0) и соответственно ток отстает по фазе от напряжения (φ > 0). Рисунок 3.4, б относится к случаю, когда реактивное сопротивление цепи имеет емкостный характер (Х < 0), и поэтому ток опережает по фазе напряжение (φ < 0).

а б

Рисунок 3.4 Векторные диаграммы для последовательной цепи R, L, С

при х > 0(а) и x < 0 (б)

В случае чисто реактивной цепи (R = 0) ток отстает от напряжения по фазе на p/2, если сопротивление цепи индуктивное, и опережает напряжение на p/2 при емкостном сопротивлении цепи.

Как видно из векторных диаграмм, приведенных на рисунке 3.4, U_R = RI – напряжение на сопротивлении R (совпадает по фазе с током I), U_L = jwLI – напряжение на индуктивности L (опережает ток I на угол p/2) и U_C = –jI ×1/(wC) – напряжение на емкости С (отстает от тока I на угол p/2).

Геометрическая сумма векторов дает вектор приложенного к цепи напряжения

Активная слагающая напряжения U_a = U_R, реактивная слагающая U_p = U_L + U_c и суммарное напряжение U образуют треугольник напряжений.

Треугольник сопротивлений, подобный треугольнику напряжений и повернутый относительно него на угол y - j (рисунок 3.5), представляет геометрическую интерпретацию уравнений (3.11). Его положение не зависит от начальных фаз и ; сопротивление R откладывается на комплексной плоскости в положительном направлении действительной оси, а реактивное сопротивление х в зависимости от его знака откладывается в положительном (х > 0) или отрицательном (х < 0) направлении мнимой оси (рисунок 3.5, а и б).

Рисунок 3.5 Треугольник сопротивлений при х > 0 (а) и х < 0 (б)

Параллельное соединение R,L, С.

Пользуясь рассуждениями, аналогичными приведенными выше, можно прийти к комплексной форме законов Ома и Кирхгофа для электрической цепи, состоящей из элементов R, L и С, соединенных параллельно.

Ограничиваясь записью для комплексных действующих значений, пропорциональных комплексным амплитудам, имеем в соответствии с первым законом Кирхгофа

; (3.12)

здесь – ток в сопротивлении R (совпадает по фазе с напряжением U);

– ток в индуктивности (отстает от напряжения на p/2);

– ток в емкости (опережает напряжение на p/2).

Выражение

(3.13)

представляет собой комплексную проводимость рассматриваемой цепи; g и b – активная и реактивная проводимости цепи.

Уравнение

(3.14)

выражает закон Ома в комплексной форме. Следовательно, комплексная проводимость электрической цепи равна отношению комплексного тока в данной цепи к комплексному напряжению на ее зажимах.

Тригонометрическая и показательная (полярная) формы комплексной проводимости имеют следующий вид:

здесь – модуль комплексного числа Y – представляет полную проводимость цепи, а (-φ) – аргумент комплексного числа Y:

На основании (3.14) комплексное действующее значение тока равно

что соответствует гармоническому току

На рисунке 3.6 дана геометрическая интерпретация на комплексной плоскости уравнения (3.12). Рисунок 3.6, а относится к случаю, когда реактивная проводимость цепи имеет индуктивный характер (b > 0) и соответственно ток отстает по фазе от напряжения (φ > 0). Рисунок 3.6, б относится к случаю, когда реактивная проводимость цепи имеет емкостный характер (b < 0) и соответственно ток опережает по фазе напряжение (φ < 0).

Рисунок 3.6 Векторные диаграммы для параллельной цепи R, L, С

при b > 0 (а) и b < 0 (б)

Активная слагающая тока I_a = I_R, реактивная слагающая I_p =I_L + I_C и суммарный ток I образуют треугольник токов.

Треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов и повернутый относительно последнего на угол y против хода часовой стрелки (рисунок 3.7), служит геометрической интерпретацией выражения (3.13): активная проводимость g откладывается на комплексной плоскости в положительном направлении действительной оси, а реактивная проводимость b в зависимости от ее знака откладывается в отрицательном (b > 0) или положительном (b < 0) направлении мнимой оси (рисунок 3.7, а и б).

а б

Рисунок 3.7 Треугольник проводимостей при b > 0 (а) и b < 0 (б)

В таблице 3.1 дана сводка уравнений элементов цепи в комплексной форме.

Таблица 3.1 Комплексная запись уравнений элементов цепи

Элемент	Напряжение	Ток
Сопротивление
Индуктивность
Емкость

Следует обратить внимание на то, что комплексное сопротивление индуктивного элемента равно jwL, а емкостного элемента равно ; комплексная проводимость составляет соответственно: