Примеры составления математических моделей

Пример 1.Пусть некоторый экономический регион производит несколько (n) видов продуктов исключительно своими силами и только для населения данного региона. Предполагается, что технологический процесс отработан, а спрос населения на эти товары изучен. Надо определить годовой объем выпуска продуктов с учетом того, что этот объем должен обеспечить как конечное, так и производственное потребление.

Составим математическую модель этой задачи. По ее условию даны: виды продуктов, спрос на них и технологический процесс; требуется найти объем выпуска каждого вида продукта.

Обозначим известные величины:

c_i – спрос населения на i-й продукт (i=1,...,n); a_ij – количество i-го продукта, необходимое для выпуска единицы j-го продукта по данной технологии (i=1,..., n ; j=1,...,n).

Обозначим неизвестные величины:

х_i – объем выпуска i-го продукта (i=1,...,n); совокупность с =(c₁ ,...,c_n) называется вектором спроса, числа a_ij – технологическими коэффициентами, а совокупность х =(х₁ ,...,х_n) – вектором выпуска.

По условию задачи вектор х распределяется на две части: на конечное потребление (вектор с) и на воспроизводство (вектор х-с). Вычислим ту часть вектора х, которая идет на воспроизводство. По нашим обозначениям для производства х_j количества j-го товара идет a_ij · х_j количества i-го товара.

Тогда сумма a_i1 · х₁ +...+ a_in · х_n показывает ту величину i-го товара, которая нужна для всего выпуска х =(х₁,...,х_n).

Следовательно, должно выполняться равенство:

. (2.7)

Распространяя это рассуждение на все виды продуктов, приходим к искомой модели:

. (2.8)

Решая эту систему из n линейных уравнений относительно х₁ ,...,х_n, найдем требуемый вектор выпуска.

Для того, чтобы написать эту модель в более компактной (векторной) форме, введем обозначения:

. (2.9)

Квадратная матрица А называется технологической матрицей. Легко проверить, что наша модель теперь запишется так: х - с = Ах или

(2.10)

Мы получили классическую модель "Затраты – выпуск", автором которой является известный американский экономист В. Леонтьев.

Пример 2.Нефтеперерабатывающий завод располагает двумя сортами нефти: сортом А в количестве 10 единиц, сортом В - 15 единиц. При переработке из нефти получаются два материала: бензин (обозначим Б) и мазут (М). Имеются три варианта технологического процесса переработки:

I: 1ед.А + 2ед.В дает 3ед.Б + 2ед.М.

II: 2ед.А + 1ед.В дает 1ед.Б + 5ед.М.

III: 2ед.А + 2ед.В дает 1ед.Б + 2ед.М.

Цена бензина - 10 долл. за единицу, мазута - 1 долл. за единицу.

Требуется определить наиболее выгодное сочетание технологических процессов переработки имеющегося количества нефти.

Перед моделированием уточним следующие моменты. Из условия задачи следует, что "выгодность" технологического процесса для завода следует понимать в смысле получения максимального дохода от реализации своей готовой продукции (бензина и мазута). В связи с этим понятно, что "выбор (принятие) решения" завода состоит в определении того, какую технологию и сколько раз применить. Очевидно, что таких возможных вариантов достаточно много.

Обозначим неизвестные величины:

х_i – количество использования i-го технологического процесса (i = 1, 2, 3).

Остальные параметры модели (запасы сортов нефти, цены бензина и мазута) известны.

Теперь одно конкретное решение завода сводится к выбору одного вектора х = (х₁, х₂, х₃), для которого выручка завода равна (32х₁+15х₂+12х₃) долл. Здесь 32 долл. – это доход, полученный от одного применения первого технологического процесса (10 долл. х 3ед.Б + 1 долл. х 2ед.М = 32 долл.). Аналогичный смысл имеют коэффициенты 15 и 12 для второго и третьего технологических процессов соответственно. Учет запаса нефти приводит к следующим условиям:

для сорта А: (х₁+ 2х₂ +2х₃) ≤ 10,

для сорта В: (2х₁+х₂ +2х₃) ≤ 15,

где в первом неравенстве коэффициенты 1, 2, 3 – это нормы расхода нефти сорта А для одноразового применения технологических процессов I, II, III соответственно. Коэффициенты второго неравенства имеют аналогичный смысл для нефти сорта В.

Математическая модель в целом имеет вид:

Найти такой вектор х = (х₁, х₂, х₃), чтобы максимизировать

f(x) =32х₁+15х₂ +12х₃

при выполнении условий:

(х₁+ 2х₂ +2х₃) ≤ 10

(2х₁+х₂ +2х₃) ≤ 15

х₁ ≥ 0, х₂≥ 0, х₃≥ 0 (х₁, х₂, х₃ – целые числа).

Сокращенная форма этой записи такова:

при ограничениях

(2.11)

(целые).

Мы получили так называемую задачу линейного программирования.

Модель (2.11) является примером оптимизационной модели детерминированного типа (с вполне определенными элементами).

Пример 3.Инвестору требуется определить наилучший набор из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобретения их на некоторую сумму с целью получения определенной прибыли с минимальным риском для себя. Прибыль на каждый доллар, вложенный в ценную бумагу j-го вида, характеризуется двумя показателями: ожидаемой прибылью и фактической прибылью. Для инвестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль на один доллар вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданной величины b.

Заметим, что для правильного моделирования этой задачи от математика требуются определенные базовые знания в области портфельной теории ценных бумаг.

Обозначим известные параметры задачи:n – число разновидностей ценных бумаг; а_j – фактическая прибыль (случайное число) от j-го вида ценной бумаги; – ожидаемая прибыль от i-го вида ценной бумаги.

Обозначим неизвестные величины:y_j - средства, выделенные для приобретения ценных бумаг вида j.

По нашим обозначениям вся инвестированная сумма выражается как . Для упрощения модели введем новые величины

(2.12)

Таким образом, х_j - это доля от всех средств, выделяемая для приобретения ценных бумаг вида j.

Ясно, что .

Из условия задачи видно, что цель инвестора – достижение определенного уровня прибыли с минимальным риском. Содержательно риск - это мера отклонения фактической прибыли от ожидаемой. Поэтому его можно отождествить с ковариацией

прибыли для ценных бумаг вида i и вида j. Здесь М - обозначение математического ожидания.

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

(2.13)

при ограничениях

(2.14)

Мы получили известную модель Марковица для оптимизации структуры портфеля ценных бумаг.

Модель (2.14) является примером оптимизационной модели стохастического типа (с элементами случайности).

Пример 4.На базе торговой организации имеется n типов одного из товаров ассортиментного минимума. В магазин должен быть завезен только один из типов данного товара. Требуется выбрать тот тип товара, который целесообразно завезти в магазин. Если товар типа j будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыль р_j , если же он не будет пользоваться спросом - убыток q_j .

Перед моделированием обсудим некоторые принципиальные моменты. В данной задаче лицом, принимающим решение (ЛПР), является магазин. Однако исход (получение максимальной прибыли) зависит не только от его решения, но и от того, будет ли завезенный товар пользоваться спросом, т.е. будет ли выкуплен населением (предполагается, что по какой-то причине у магазина нет возможности изучить спрос населения). Поэтому население может рассматриваться как второе ЛПР, выбирающее тип товара согласно своему предпочтению. Наихудшим для магазина "решением" населения является: "завезенный товар не пользуется спросом", так что для учета всевозможных ситуаций магазину нужно считать население своим "противником" (условно), преследующим противоположную цель – минимизировать его прибыль.

Итак, имеем задачу принятия решения с двумя участниками, преследующими противоположные цели. Уточним, что магазин выбирает один из типов товаров для продажи (всего n вариантов решений), а население - один из типов товаров, который пользуется наибольшим спросом (n вариантов решений).

Для составления математической модели нарисуем таблицу с n строками и n столбцами (всего n² клеток) и условимся, что строки соответствуют выбору магазина, а столбцы - выбору населения. Тогда клетка (i, j) соответствует той ситуации, когда магазин выбирает i-й тип товара (i-ю строку), а население выбирает j-й тип товара (j-й столбец). В каждую клетку запишем числовую оценку (прибыль или убыток) соответствующей ситуации с точки зрения магазина:

Числа q_i написаны с минусом для отражения убытка магазина; в каждой ситуации "выигрыш" населения (условно) равен "выигрышу" магазина, взятому с обратным знаком.

Сокращенный вид этой модели таков:

. (2.15)

Мы получили так называемую матричную игру. Модель (2.15) является примером игровых моделей принятия решения.