Понятие определенного интеграла

Определенный интеграл

Мы с вами узнали, что такое неопределенный интеграл - это совокупность первообразных заданной функции, т. е. множество функций. Интеграл является многогранным понятием, существует большое количество различного вида интегралов. Совершенно другим является понятие определенного интеграла, с которым мы сейчас познакомимся. Сразу отметим главное. Многие интегралы в своем определении являются пределами соответствующих сумм, называемых интегральными суммами. Результатом вычисления определенного интеграла, как и результатом вычисления многих других видов интегралов является число. Казалось бы, определенный интеграл кардинально отличается от интеграла неопределенного. Но на самом деле, вычисление того и другого сводится к нахождению первообразной заданной функции.

Понятие определенного интеграла

Пусть на отрезке задана функция . Разделим этот отрезок точками на частей, длины которых равны соответственно числам , где . На каждой из этих частей выберем произвольную точку

и рассмотрим сумму , (1) которая называется интегральной суммой.

Определение 1. Определенным интегралом от функции по промежутку (обозначается ) называется предел интегральных сумм (1), если этот предел существует и не зависит от способа разбиения области интегрирования и выбора точек .

Для каких функций определенный интеграл существует, т. е. соответствующие функции интегрируемы на отрезке ? Для ответа на этот вопрос надо установить сходимость сумм Дарбу (1). Для этого надо рассмотреть верхнюю и нижнюю суммы Дарбу (значения функции берутся соответственно самые большие и самые маленькие на каждом промежутке) и доказать, что разность между ними стремится к 0 при . Этот факт интегрируемости функции несложно установить для непрерывной функции на отрезке. Доказаны и более тонкие теоремы об интегрируемости монотонных и кусочно непрерывных функций.