Понятие о материальной точке

Материальной точкой называется тело исчезающе малых размеров; в задачах механики о движении реальных тел понятие материальной точки применимо к такому телу, размерами которого можно пренебречь по сравнению с размерами, характеризующими движение этого тела. Например, изучая движение Земли вокруг Солнца, и Землю и Солнце можно считать материальными точками, хотя радиус Земли примерно 6·10⁶ м, а радиус Солнца 7·10⁸ м. Дело в том, что эти размеры весьма малы по сравнению с расстоянием между центрами Солнца и Земли, составляющим примерно 1,5·10¹¹ м. В другом случае при изучении вращения Земли вокруг своей оси представление о Земле как материальной точке неприменимо. Действительно, максимальным размером, характеризующим это движение, является длина окружности, по которой движется какая-либо точка поверхности Земли, находящаяся на экваторе. Очевидно, что радиусом Земли нельзя пренебречь по сравнению с указанной длиной. Совокупность нескольких тел, каждое из которых можно считать материальной точкой, называют системой материальных точек. Например, нашу Галактику можно представлять как систему очень большого числа материальных точек-звезд; в ряде задач газ, состоящий из молекул, также можно представлять себе как систему большого числа материальных точек-молекул. Из приведенных примеров и из определения материальной точки видно, что это понятие не связано с представлением об атомистическом строении вещества.

Важную роль в механике играет понятие абсолютно твердого тела или, кратко говоря, твердого тела. Так называется система материальных точек, расстояния между которыми не изменится при произвольных перемещениях этой системы. Конечно, размеры реальных тел остаются практически неизменными либо в определенных условиях, либо в течение определенных интервала времени. Например, годовое угловое смещение большинства звёзд составляет примерно 0",01. Следовательно, система Солнце - «неподвижные» звезды может быть принята с известной степенью точности за твердое тело, причем для сравнительно длительных интервалов времени.

При изучении взаимного расположения материальных точек первостепенное значение имеет определение расстояний между ними с помощью эталона длины. Расстояние между точками будет определяться при этом тем числом, которое показывает, сколько раз эталон длины «укладывается» на отрезке прямой, соединяющей эти точки. До 1960 г. за эталон длины принимался метр — длина некоторого сплошного твердого тела, находящегося в стационарных условиях. Согласно единой международной системе СИ, введенной с 1960 г., за эталон длины принят метр — длина, равная 1 650 763,73 длины волны излучения, соответствующего переходу между уровнями 2р₁₀и 5d₅ атома криптона-86 (в вакууме). Этот эталон обеспечивает большую точность измерений по сравнению со старым эталоном.

Рассмотрим движение некоторой системы А материальных точек относительно системы S. Пусть для данных перемещений системы А систему S можно считать твердым телом, тогда с телом S можно жестко связать три единичных вектора n_x, n_y, n_z, имеющих общее начало в некоторой точке О этого тела (для определенности будем считать выбранный базис ортогональным я правовинтовым — см. рис. 1.1).

Рис. 1.1.

Положение любой материальной точки системы А относительно системы S зададим радиусом-вектором r этой точки. Разложив вектор r по трем осям Ох, Оу, Оz, которые определяются ортами n_x, n_y, n_z, получим

r =x·n_x+y·n_y+z·n_z (1.1)

где х, у, z - проекции радиуса-вектора на указанные оси. Таким образом, при определении положения материальной точки ей ставятся в соответствие три вещественные координаты х, у, z, называемые декартовыми координатами. Систему координат, жестко связанную с телом S, называют системой отсчета S. Заметим, что в формуле (1.1) неявно пренебрегается влиянием процесса измерения положения точки на само это положение. Это допущение оправдывается при рассмотрении движений макроскопических тел; для атомных явлений эта привычная гипотеза неверна.

Чтобы определить положение всех точек системы А относительно системы S, нужно задать радиусы-векторы этих точек. Пусть система А состоит из N материальных точек. Тогда аналогично (1.1)

r_i =x_i·n_x+y_i·n_y+z_i·n_z (i=1,2,…..,N) (1.2)

где r_i - радиус-вектор i-той точки, а х_i, у_i, z_i — декартовы координаты i-той точки.

(Пример системы отсчета: Для изучения движения планет солнечной системы относительно системы Солнце — звезды можно в течение сравнительно длительного промежутка времени систему Солнце — Звезды считать твердым телом. Совмещая начало системы отсчета с центром Солнца и связывая направления декартовых осей с направлениями на определенные звезды, получим гелиоцентрическую систему отсчета Коперника.)

Теперь поговорим о движении точек. Можно считать эти точки атомами, но сначала, вероятно, лучше не гнаться за точностью, а просто представлять себе точку как какой-то маленький объект, маленький по сравнению с тем расстоянием, которое он проходит. Например, если говорить об автомобиле, прошедшем 100 км, то какая разница. Имеется в виду его мотор или багажник. Конечно, небольшая разница есть, но обычно мы просто говорим «автомобиль» и то, что он не является абсолютной точкой, не имеет значения. Для наших целей не нужна абсолютная точность. Ради простоты забудем на время также и о том, что наш мир трехмерный, а сконцентрируем свое внимание на движении в одном направлении (автомобиль движется по прямой дороге). Мы еще вернемся к понятию трех измерений, когда поймем, как описывается движение в одном измерении. Вы, вероятно, скажете, что это тривиально. Действительно, это так. Как описать движение в одном измерении, скажем движение автомобиля. Это проще простого. Приведу один из многих возможных способов. Чтобы определить положение автомобиля в различные моменты времени, мы измеряем расстояние его от начальной точки и записываем наши наблюдения. В табл. 1 буква s означает расстояние автомобиля от начальной точки в метрах, а t — время в минутах. Первая строка — нулевое расстояние и нулевой момент времени. Автомобиль еще не начал двигаться. Через минуту после начала движения он проходит уже 380 м. Через две минуты он продолжает двигаться. Заметьте, что за вторую минуту он прошел большее расстояние, чем за первую, — автомобиль ускоряет свое движение, но между третьей и четвертой минутами что-то произошло, более того, на пятой минуте он остановился. По-видимому, у светофора, потому что дальше он опять набирает скорость и к концу шестой минуты проходит 4050 м, к концу седьмой— 5550, а к концу восьмой — 7050. Но в течение девятой минуты опять происшествие — автомобиль прошел всего лишь 450 м и остановился. Водитель нарушил правила движения и был остановлен полицейским.

Таблица 1

Это один способ описать движение. Есть и другой способ — графический. Если по горизонтали откладывать время, а по вертикали — расстояние, то получим кривую, подобную изображенной на фиг.1.

Фиг. 1. График зависимости расстояния, пройденного машиной, от времени

Из рисунка видно, что с увеличением времени расстояние тоже увеличивается, сначала очень медленно, а затем все быстрее и быстрее. В районе четырех минут происходит замедление, а затем расстояние опять увеличивается в течение нескольких минут, и, наконец, на девятой минуте машина останавливается. Все эти сведения можно получить прямо из графика, не используя таблицы; Конечно, для построения нашего графика необходимо знать, где находится автомобиль не только каждую минуту, но и каждые полминуты, а может быть, и еще точнее. Кроме того, мы предполагаем, что машина где-то находится в любой момент времени.

Так что движение автомобиля выглядит все же сложно. Давайте рассмотрим что-нибудь попроще, с более простым законом движения: например, падающий шар. В табл. 2 даны значения времени в секундах и расстояния в метрах. За нулевой момент выберем момент начала падения.

Таблица 2

Через 1 сек после начала падения шарик пролетает 5 м, через 2 сек — 20 м, через 3 сек — 45 м. Если отложить эти числа на графике, то получим параболическую кривую зависимости расстояния от времени для падающего тела (фиг. 2), которая описывается формулой

s = 5·t². (1)

Эта формула позволяет вычислить расстояние для любого момента времени. Вы скажете, что для первого графика (см. фиг. 1) тоже должна быть какая-то формула. Действительно это так. Ее можно записать в таком абстрактном виде:

s = f(t). (2)

Фиг. 2. График, зависимости расстояния, пройденного падающим шаром, от времени

Это означает, что s — величина, зависящая от t, или, как говорят математики, s есть функция t. Однако мы не знаем, что это за функция, точнее, мы не можем записать ее через какие-то известные нам функции.

На этих двух примерах видно, что любое движение можно писать в общей и простой форме. Казалось бы, нет ничего хитрого! Однако хитрости все же есть, и не одна! Во-первых, что мы понимаем под пространством и временем? Это, оказывается, очень глубокие философские вопросы, которые нужно внимательно проанализировать, что не так-то легко. Теория относительности показывает, что понятия пространства и времени не так просты, как это кажется на первый взгляд. Впрочем, сейчас для начала нам не нужна такая скрупулезность в определении этих понятий. Возможно, вы скажете: «Странно, мне всегда говорили, что в науке все должно определяться точно». Это не так. Мы не можем определить точно все без исключения! Если бы мы пытались это сделать, то получилось бы нечто похожее на спор двух «философов», где один говорит: «Вы сами не знаете, о чем говорите»; а второй отвечает: «А что такое «знать»? Что такое «говорить»? Что такое «вы», наконец?» Ну и так до бесконечности. Так что для пользы дела лучше сначала условиться, что мы будем говорить хотя бы приблизительно об одних и тех же вещах.

Сейчас вы достаточно много знаете о времени, но помните, что здесь есть некоторые тонкости, которые мы еще обсудим в дальнейшем. Другая хитрость (мы уже упоминали о ней) — это правильно ли думать, что наблюдаемая нами движущаяся точка всегда находится в каком-то определенном месте (т. е. где-то локализована). Разумеется, когда мы смотрим на нее, она находится в определенном месте; но можно ли это утверждать в те моменты, когда мы отвернулись. И вот оказывается, что при изучении движения атомов так думать нельзя. Невозможно посадить метку на атом и наблюдать за его движением. С этой тонкостью мы вплотную столкнемся в квантовой механике. Но сначала давайте рассмотрим те проблемы, которые возникают до введения этих усложнений, а уж после этого учтем те поправки, на которые нас вынуждают новейшие сведения о природе вещей.

Итак, примем наиболее простую точку зрения о пространстве и времени. Мы приблизительно понимаем, что означают эти понятия.

Пространство

Окружающий нас мир представляется огромным и сложным. Это своего рода гигантская арена, на которой разыгрываются события самого различного масштаба. Интересно познакомиться с числовыми значениями некоторых величин, характеризующих Вселенную. Мы не будем сейчас подробно останавливаться на доказательствах и измерениях, которые позволили определить называемые здесь числа. Самое замечательное в этих числах — это то, что мы их вообще знаем; не имеет решающего значения, что некоторые из них мы знаем только приближенно.

Большие расстояния

Размеры Вселенной огромны. Из астрономических наблюдений мы заключаем, что это величина порядка 10²⁸ см, или 10¹⁰ световых лет, — это характеристическая длина, которую нестрого называют иногда радиусом Вселенной. Для сравнения укажем, что расстояние Земли от Солнца равно 1,5·10¹³ см, а радиус Земли равен 6,4·10⁸ см.

Под расстоянием мы понимаем не только то, что можно измерить метром. Как, например, измерить метром расстояние между вершинами двух гор? Здесь на помощь приходит уже другой метод измерения расстояний — триангуляция. Хотя это означает использование другого определения понятия «расстояние», но в тех случаях, когда есть возможность применить оба метода, они дают одинаковый результат. Пространство все же более или менее соответствует представлениям Евклида, поэтому оба определения эквивалентны. Ну, а раз они согласуются на Земле, то мы более уверены в законности применения триангуляции и для больших расстояний. Этим методом была измерена, например, высота первого спутника. Она оказалась равной приблизительно 5·10⁵ м. При большей тщательности измерений тем же самым методом определялось расстояние до Луны. Направления двух телескопов в различных точках Земли дают два необходимых угла. Оказалось, что Луна удалена от нас на расстояние 4·10⁸ м. Однако для Солнца таких измерений провести нельзя, по крайней мере, до сих пор это никому не удавалось. Дело в том, что точность, с которой можно сфокусировать телескоп на данную точку Солнца и с которой можно измерить углы, не достаточна для вычисления расстояния до Солнца. Как же все-таки определить его? Необходимо как-то расширить принцип триангуляции. Астрономические наблюдения позволяют измерить относительное расстояние между планетами и Солнцем и определить их относительное расположение. Таким образом, мы получаем план солнечной системы в неизвестном масштабе. Чтобы определить масштаб, требуется только одно абсолютное расстояние, которое было найдено многими различными способами. Один из способов, считавшийся до самого последнего времени наиболее точным, заключается в определении расстояния от Земли до Эроса — малой планеты, которая по временам проходит недалеко от Земли.

С помощью триангуляции можно определить расстояние до этого небольшого объекта и получить необходимый масштаб. Зная относительные расстояния, можно определить, например, все абсолютные расстояния от Земли до Солнца или до планеты Плутон.

В последний год достигнуты большие успехи в определении масштаба солнечной системы. В Лаборатории ракетных двигателей с помощью прямой радиолокационной связи были проведены очень точные измерения расстояния от Земли до Венеры. Здесь мы имеем дело еще с одним определением понятия «расстояние». Нам известна скорость распространения света (а стало быть, и скорость распространения радиоволн), и мы предполагаем, что эта скорость постоянна на всем протяжении между Землей и Венерой. Послав радиоволну по направлению к Венере, мы считаем время до прихода отраженной волны. А зная время и скорость, мы получаем расстояние.

А как измерить расстояние до еще более отдаленных объектов, например до звезд? К счастью, здесь снова можно возвратиться к нашему методу триангуляции, ибо движение Земли вокруг Солнца позволяет измерить расстояние до объектов, находящихся вне солнечной системы. Если мы направим телескоп на некую звезду один раз зимой, а другой раз летом (фиг. 5.5), то можно надеяться достаточно точно измерить углы и определить расстояние до этой звезды.

Но что делать, если звезда находится настолько далеко от нас, что уже невозможно пользоваться методом триангуляции? Астрономы всегда изобретают все новые и новые способы определения расстояний. Так, они научились определять размер и яркость звезд по их цвету. Оказалось, что цвет и истинная яркость многих близлежащих звезд, расстояние до которых определялось методом триангуляции, в большинстве случаев связаны между собой гладкой зависимостью. Если теперь измерить цвет отдаленной звезды, то по этой зависимости можно определить ее истинную яркость, а измеряя видимую яркость звезды (вернее, по тому, насколько звезда нам кажется тусклой), можно вычислить расстояние до нее. (Для данной истинной яркости видимая яркость уменьшается как квадрат расстояния.) Правильность этого метода нашла неожиданное подтверждение в результатах измерений, проведенных для группы звезд, известных под названием «шарового скопления». Фотография этой группы звезд приведена на фиг. 6. Достаточно взглянуть на фотографию, чтобы убедиться, что все эти звезды расположены в одном месте. Тот же результат получается и с помощью метода сравнения цвета и яркости.

Фиг. 6. Скопление звезд вблизи центра нашей Галактики, удаленное от нас на расстояние 30 000 световых лет, или около 3·10²⁰м.

Изучение многих шаровых скоплений дает еще одну важную информацию. Оказалось, что существует участок неба с большой концентрацией таких шаровых скоплений, при чем большинство из них находится на одном и том же расстоянии от нас. Сравнивая эти данные с некоторыми другими, мы приходим к заключению, что эти скопления являются центром нашей Галактики. Таким образом мы определяем, что расстояние до центра Галактики составляет приблизительно 10²⁰ м.

Данные о размере нашей Галактики дают ключ к определению еще больших межгалактических расстояний. На фиг. 7 приведена фотография галактики, которая по форме очень похожа на нашу Галактику. Возможно, что и размер ее тот же. (Есть еще ряд соображений, согласно которым размеры всех галактик приблизительно одинаковы.) А если это так, то можно узнать расстояние до нее. Мы измеряем угловой размер галактики (т. е. угол, который она занимает на небесном своде), знаем ее диаметр, а стало быть, можем вычислить расстояние. Опять та же триангуляция!

Фиг. 7. Спиральная галактика, подобная нашей.

Если предположить, что диаметр этой галактики равен диаметру нашей Галактики, то, исходя из ее кажущегося размера, можно подсчитать расстояние; оно оказывается равным 30 миллионам световых, лет (3·10²³ м)

Недавно с помощью гигантского Паломарского телескопа были получены фотографии неимоверно далеких галактик. Одна из этих фотографий приведена на фиг. 8. Сейчас полагают, что расстояние до некоторых из них приблизительно равно половине размера Вселенной (10²⁶ м) — наибольшего расстояния, которое можно себе представить!

Фиг. 8. Наиболее удаленный от нас объект ЗС295 в созвездии Волопаса

(указан стрелкой), который измерялся в 1960 г. с помощью 200-дюймового телескопа.

Малые расстояния

Обратимся теперь к малым расстояниям. Подразделить метр просто. Без особых трудностей можно разделить его на тысячу равных частей. Таким же путем, хотя и несколько сложнее (используя хороший микроскоп), можно разделить миллиметр на тысячу частей и получить микрон (миллионную долю метра). Однако продолжать это деление становится трудно, поскольку невозможно «увидеть» объекты, меньшие, чем длина волны видимого света (около 5·10^{-7 м).}

Все же мы не останавливаемся на том, что недоступно глазу. С помощью электронного микроскопа можно получить фотографии, помогающие увидеть и измерить еще меньшие объекты — вплоть до 10^{-8 м (фиг. 9).}

Фиг. 9. Фотография вирусов, полученная с помощью электронного микроскопа. Видна «большая» сфера, показанная для сравнения: диаметр ее равен 2·10^{-7 м, или 2000 Аº.}

А с помощью косвенных измерений (своего рода триангуляции в микроскопическом масштабе) можно измерять все меньшие и меньшие объекты. Сначала из наблюдений отражения света короткой длины волны (рентгеновских лучей) от образца с нанесенными на известном расстоянии метками измеряется длина волны световых колебаний. Затем по картине рассеяния того же света на кристалле можно определить относительное расположение в нем атомов, причем результат хорошо согласуется с данными о расположении атомов, полученными химическим путем. Таким способом определяется диаметр атомов (около 10^{-10 м).}

Дальше в шкале расстояний имеется довольно большая незаполненная «щель» между атомными размерами 10^{-10 м} и в 10⁵ раз меньшими ядерными размерами (около 10^{-15 м).} Для определения ядерных размеров применяются уже совершенно другие методы: измеряется видимая площадь σ, или так называемое эффективное поперечное сечение. Если же мы хотим определить радиус, то пользуемся формулой σ = πr², поскольку ядра можно приближенно рассматривать как сферические.

Таблица расстояний

Эффективные сечения ядер можно определить, пропуская пучок частиц высокой энергии через тонкую пластинку вещества и измеряя число частиц, не прошедших сквозь нее. Эти высокоэнергетические частицы прорываются сквозь легкое облачко электронов, но при попадании в тяжелое ядро останавливаются или отклоняются. Предположим, что у нас имеется пластинка толщиной 1 см. На такой толщине укладывается приблизительно 10⁸ атомных слоев. Однако ядра настолько малы, что вероятность того, что одно ядро закроет другое, очень незначительна. Можно себе представлять, что высокоэнергетическая частица, налетающая на пластинку углерода толщиной 1 см, «видит» приблизительно то, что в сильно увеличенном масштабе показано на фиг. 10.

Фиг. 10. Воображаемая пластинка углерода толщиной 1 см

при сильном увеличении (если бы были видны только ядра атомов)

Вероятность того, что очень малая частица столкнется с ядром, равна отношению площади, занимаемой ядрами (черные точки) к общей площади рисунка. Пусть над областью с площадью А по всей толщине пластинки находится N атомов (разумеется, каждый с одним ядром). Тогда доля площади, закрытая ядрами, будет равна Nσ/A. Пусть теперь число частиц в нашем пучке до пластинки будет равно n₁, а после нее равно n₂;тогда доля частиц, не прошедших через пластинку, будет (n₁ - n₂)/ n₁, что должно быть равно доле площади, занимаемой ядрами. Радиус же ядер вычисляется из равенства *

Из таких экспериментов мы находим, что радиусы ядер лежат в пределах от 1·10^-15 до 6·10^{-15 м.} Кстати, единица длины 10^{-15 м} называется ферми в честь Энрико Ферми (1901—1958).

(* Это равенство справедливо только тогда, когда площадь, занимаемая ядрами, составляет малую долю общей площади, т. е. (n₁ - n₂)/n₁ мною меньше единицы В противном же случае необходимо учитывать поправку на частичное «загораживание» одного ядра другим.)

Что можно ожидать в области еще меньших расстояний? Можно ли их измерять? На этот вопрос пока еще нет ответа. Может быть, именно здесь, в каком-то изменении понятия пространства или измерения на малых расстояниях, кроется разгадка тайны ядерных сил.

Но потом оказалось, что результаты измерения расстояний от наблюдателя. Два наблюдателя движущиеся друг относительно друга, измеряя один и тот же предмет, получат разные значения, хотя, казалось бы, мерили одно и то же. Расстояния, в зависимости от системы координат (т.е. системы отсчета), в которой производят измерения, имеют различную величину. То есть, законы природы не позволяют выполнять абсолютно точные измерения расстояний.

Оказалось, что ошибка в определении положения мета не может быть меньше, чем

где h — малая величина, называемая «постоянной Планка», а Δр — ошибка в измерении импульса (массы, умноженной на скорость) этого предмета. Как уже говорилось, эта неопределенность в измерении положения связана с волновой природой частиц.

Время

Что мы понимаем под словом время? Что же это такое? Неплохо было бы найти подходящее определение понятия «время». В толковом словаре Вебстера, например, «время» определяется как «период», а сам «период», — как «время». Однако пользы от этого определения мало. Но и в определении «время — это то, что меняется, когда больше ничего не изменяется» не больше смысла. Быть мажет, следует признать тот факт, что время—это одно из понятий, которое определить невозможно, и просто сказать, что это нечто известное нам: это-то, что отделяет два последовательных события!

Дело, однако, не в том, как дать определение понятия «время», а в том, как его измерить. Один из способов измерить время — это использовать нечто регулярно повторяющееся, нечто периодическое. Например, день. Казалось бы, дни регулярно следуют один за другим. Но, поразмыслив немного, сталкиваешься с вопросом: периодичны ли они? Все ли дни имеют одинаковую длительность? Создается впечатление», что летние дни длиннее зимних. Впрочем, некоторые зимние дни кажутся ужасно длинными, особенно если они скучны. О них обычно говорят: «Ужасно длинный день»!.....

Короткие времена

Современная электроника позволяет создавать осцилляторы с периодами 10^-12 сек, которые выверяются (калибруются} методом сравнения на стандартную единицу времени — секунду. В последние несколько лет в связи с изобретением и усовершенствованием «лазера», или усилителя света, появилась возможность сделать осцилляторы с ещё более коротким периодом. Можно измерять промежутки времени, гораздо более короткие, чем 10^-12 сек. … В сущности используется другое определение понятия «время». Один из таких методов — это измерение расстояния между двумя событиями, происходящими на движущемся объекте. Например, пусть в движущемся автомобиле сначала включают, а затем выключают фары. Если известно, где были включены фары, и какова была скорость автомобиля, то можно вычислить, сколько времени они горели. Для этого нужно расстояние, на протяжении которого горели фары, разделить на скорость автомобиля.

Именно таким методом в последние годы измерялось время жизни π°-мезона. При наблюдении в микроскоп мельчайших следов, оставленных на фотоэмульсии, в которой родился π°-мезон, было обнаружено следующее: π°-мезон, двигаясь со скоростью, близкой к скорости света, прежде чем распасться, проходит в среднем расстояние около 10^{-7 м. Таким образом, время жизни π°-мезона составляет всего лишь 10-16} сек. Необходимо подчеркнуть, что здесь было использовано несколько другое определение понятия «время», но поскольку оно не приводит к каким-либо противоречиям, можно быть уверенным в том, что эти определения в достаточной мере эквивалентны друг другу.

Развивая технику эксперименту, а если необходимо, меняя определение понятия «время», можно обнаружить ещё 6олее быстрые физические процессы. Мы, например, можем говорить о периоде вибраций ядра или о времени жизни недавно обнаруженных «странных» резонансов (частиц). Время жизни этих частиц лишь ненамного больше 10^-24 сек. Приблизительно столько времени требуется свету (который имеет наибольшую скорость распространения), чтобы пройти расстояние, равное диаметру ядра водорода (наименьший из известных объектов).

Что можно, сказать о еще более коротких интервалах времени? Имеет ли смысл вообще говорить о них, если невозможно не только измерить, но даже разумно судить о процессах, происходящих в течение столь коротких интервалов. Возможно, нет. Это один из тех вопросов, на которые нет ответа.

Большие времена

Рассмотрим теперь промежутки времени, больше «суток». Измерять большие времена легко: нужно просто считать дни, пока не придумаем что-нибудь лучшего. Первое, с чем мы сталкиваемся, это год — вторая естественная периодичность, состоящая приблизительно из 365 дней. Интересно, что в природе существуют естественные счётчики лет в виде годовых колец у деревьев или отложений речного ила. В некоторых случаях можно использовать эти естественные счётчики для определения времени, отделяющего нас от какого либо отдаленного события в прошлом.

Но, когда невозможно считать годы для очень больших отрезков времени, нужно искать какие-то другие способы измерения.

Одним из наиболее эффективных методов является использование в качестве «часов» радиоактивного вещества. Здесь мы сталкиваемся с «регулярностью» иного рода, чем, скажем, маятника. Радиоактивность любого вещества для последовательных равных интервалов времени изменяется в одно и то же число раз. Если начертить график радиоактивности от времени, то мы получим " кривую типа изображенной на рисунке. Мы видим, что если радиоактивность за Т дней (период полураспада) уменьшается вдвое, то за 2Т дней она уменьшится в четыре раза, и т. д. Произвольный интервал времени t содержит t/T «периодов полураспада», и, следовательно, количество начального вещества уменьшится в 2^t/T раза.

Если мы знаем, что какой-то материал, например дерево, при своем образовании содержал некоторое количество радиоактивного вещества, а прямые измерения показывают, что теперь он содержит количество В, то возраст этого материала можно просто вычислить, решив уравнение

А такие случаи, когда мы знаем первоначальное количество радиоактивного вещества, к счастью, существуют. Известно, например, что углекислый газ в воздухе содержит малую долю радиоактивного изотопа С¹⁴, период полураспада которого составляет 5000 лет. Количество его благодаря действию космических лучей постоянно пополняется взамен распавшегося. Если мы измеряем полное содержание углерода в каком-то предмете и знаем, что определенная доля этого углерода была первоначально радиоактивным С¹⁴, то нам известно и первоначальное количество А и мы можем пользоваться приведенной выше формулой. Если же путем точных измерений установлено, что оставшееся количество С¹⁴ соответствует 20 периодам полураспада, то можно сказать, что этот органический предмет жил приблизительно 100 000 лет назад.

Хотелось бы узнать возраст ещё более древних вещей. Это можно сделать, измерив содержание других радиоактивных элементов с большими периодами полураспада. Уран, например, имеет изотоп с периодом полураспада около 10⁹ лет, так что если .какой-то материал при своем образовании 10⁹ лет назад содержал уран, то сегодня от него осталась только половина первоначального количества. При своем распаде уран превращается в свинец. Как определить возраст горной породы которая образовалась много-много лет назад в результате какого-то химического процесса? Свинец по своим химическим свойствам отличается от урана, поэтому первоначально они входили в разные виды горных пород. Если взять такой вид породы, который вначале должен содержать только уран, то мы обнаружим в нем некоторое количество свинца. Сравнивая доли свинца и урана, можно определить ту часть урана, которая в результате распада превратилась в свинец. Этим методом было установлено, что возраст некоторых горных пород составляет несколько миллиардов лет. Применяя шире этот метод путем сравнения содержания урана и свинца не только в горных породах, но и в воде океанов, а затем усредняя различные данные по всему земному шару, установили, что нашей планете исполнилось примерно 5,5 миллиарда лет.

Интересно, что возраст метеоритов, падающих на Землю, вычисленный по урановому методу, совпадает с возрастом самой Земли. Более того, оказалось, что и метеориты, и горные породы Земли составлены из одного и того же материала, поэтому существует мнение, что Земля образовалась из пород, «плававших» некогда в «околосолнечном» пространстве.

Некогда, во времена ещё более древние, чем возраст Земли (т.е. 5 миллиардов лет назад), начала свою историю Вселенная.

Сейчас считают, что возраст, по крайней мере, нашей части Вселенной достигает примерно 10-12 миллиардов лет. Нам неизвестно, что было до этого. В сущности, опять можно спросить: «А есть ли смысл говорить о том, что было до этого! И имеет ли смысл само понятие «время» до «рождения» вселенной? Имеет ли смысл понятие «пространства» до «рождения» вселенной?»

Или такой вопрос, можно ли определить число атомов в известной нам части Вселенной?

Установлено, что ядра атомов всех элементов состоят из протонов и нейтронов. Ученые предполагают, что общее число протонов и нейтронов в известной нам части Вселенной, определенное с неточностью, может быть, раз в 10², имеет порядок 10⁸⁰. В состав Солнца входит около 1·10⁵⁷ протонов и нейтронов, а в состав Земли — около 4·10⁵¹. Общее число протонов и нейтронов в известной нам Вселенной достаточно для того, чтобы образовать около 10⁸⁰/10⁵⁷, т. е. около 10²³, звезд с массой, равной массе нашего Солнца. Ученые считают, что большая часть массы Вселенной — это масса звезд и что все известные звезды имеют массы, находящиеся между 0,01—100-кратной массой нашего Солнца.

Жизнь — наиболее сложное явление во Вселенной. Человек, одно из наиболее сложно устроенных живых существ, состоит примерно из 10¹⁶ клеток. Клетка представляет собой элементарную физиологическую ячейку, содержащую 10¹²—10¹⁴ атомов. В любую клетку любого живого организма входит хотя бы одна длинная молекулярная нить ДНК (дезоксирибонуклеиновой кислоты). Нити ДНК в клетке являются носителями всех химических данных, составляющих генетическую информацию(????), необходимую для формирования целого организма человека или птицы, бактерии или дерева. В молекуле ДНК, которая состоит из 10⁸—10¹⁰ атомов, точное взаимное расположение атомов может изменяться от индивидуума к индивидууму; тем более, оно всегда изменяется при переходе от вида к виду.

Неживая материя также существует во многих формах. Сочетания протонов, нейтронов и электронов образуют около ста различных химических элементов и около тысячи известных изотопов. Индивидуальные элементы соединяются в различных соотношениях, образуя, может быть, 10⁶ или больше разных идентифицированных химических соединений, и к этому числу можно добавить огромное количество жидких и твердых растворов и сплавов различного состава, имеющих самые разнообразные физические свойства.

Экспериментальные науки предоставили нам возможность познать все эти данные о природе: классифицировать звезды и определить их массы, состав, расстояние до нас и скорости; классифицировать виды живых существ и расшифровать их генетические соотношения; синтезировать неорганические кристаллы, биохимические вещества и новые химические элементы; измерить частоты линий спектров испускания атомов и молекул, находящиеся в интервале от 100 до 10²⁰ гц; наконец, создать в лабораторных условиях новые элементарные частицы.

Но потом оказалось, что и результаты измерения времени зависят от наблюдателя. Два наблюдателя движущиеся друг относительно друга, измеряя длительность одного и того же процесса, получат разные значения, хотя казалось бы, мерили одно и то же. Интервалы времени в зависимости от системы координат (т. е. системы отсчета), в которой производят измерения, имеют различную величину. То есть, законы природы не позволяют выполнять абсолютно точные измерения интервалов времени. Как уже говорилось, эта неопределенность в измерении времени связана с волновой природой света.

Относительность пространства и времени приводит к тому, что измерения интервалов времени также не могут быть точнее, чем

где ΔЕ — ошибка в измерении энергии того процесса, продолжительностью которого мы интересуемся. Чтобы знать более точно, когда что-то произошло, мы вынуждены довольствоваться тем, что меньше знаем, что же именно произошло, поскольку наши знания об энергии, участвующей в процессе, будут менее точными.

То есть, неопределенность времени, так же как и неопределенность положения, связана с волновой природой вещества. Этот вывод является одним из основных результатов квантовой механики и называется принципом неопределенности Гейзенберга.

Чтобы это соотношение выполнялось, частица должна себя вести очень курьезно. Вы видите, что правая часть соотношения (?) постоянна, а это означает, что если мы попытаемся «приколоть» частицу в каком-то определенном месте, то эта попытка окончится тем, что мы не сможем угадать, куда она летит и с какой скоростью. Точно так же если мы попытаемся заставить частицу двигаться очень медленно или с какой-то определенной скоростью, то она будет «расплываться», и мы не сможем точно указать, где она находится.

Принцип неопределенности выражает ту неясность, которая должна существовать при любой попытке описания природы. (Эта неясность связана с тем, что мы пытаемся изучить и описать природу с помощью самой природы, с помощью тех понятий и приборов, которые мы сами же и «придумали»). Наиболее точное и полное описание природы может быть только вероятностным. Однако некоторым физикам такой способ описания приходится не по душе. Им кажется, что о реальном поведении частицы можно говорить только, когда одновременно заданы импульсы и координаты. В свое время на заре развития квантовой механики эта проблема очень сильно волновала Эйнштейна. Он часто качал головой и говорил: «Но ведь не гадает же господь бог «орел — решка», чтобы решить, куда должен двигаться электрон!» Этот вопрос беспокоил его в течение очень долгого времени, и до конца своих дней он, по-видимому, так и не смог примириться с тем фактом, что вероятностное описание природы — это максимум того, на что мы пока способны. Есть физики, которые интуитивно чувствуют, что наш мир можно описать как-то по-другому, что можно исключить эти неопределенности в поведении частиц. Они продолжают работать над этой проблемой, но до сих пор ни один из них не добился сколько-нибудь существенного результата. (Фейнман)

Эта присущая миру неопределенность в определении положения частицы является наиболее важной чертой описания структуры атомов. В атоме водорода, например, который состоит из одного протона, образующего ядро, и электрона, находящегося где-то вне его, неопределенность в местонахождении электрона такая же, как и размеры самого атома! Поэтому, мы не можем с уверенностью сказать, где, в какой части атома находится наш электрон, и уж, конечно, не может быть и речи ни о каких «орбитах». С уверенностью можно говорить только о вероятности р(r)ΔV обнаружить электрон в элементе объема ΔV на расстоянии r от протона. Квантовая механика позволяет в этом случае вычислять плотности вероятности р(r), которая для невозмущенного атома водорода равна

Это — колоколообразная функция наподобие изображенной на фиг. 8, причем число а представляет собой характерную величину радиуса, после которого функция очень быстро убывает. Несмотря на то, что существует вероятность (хотя и небольшая) обнаружить электрон на большем, чем а, расстоянии от ядра, мы называем эту величину «радиусом атома». Она равна приблизительно 10^{-10 м.}

Если вы хотите как-то представить себе атом водорода, то вообразите этакое «облако», плотность которого пропорциональна плотности вероятности. Пример такого облака показан на фиг. 11.

Фиг. 11. Воображаемый атом водорода.

Такая наглядная картинка, пожалуй, наиболее близка к истине, хотя тут же нужно помнить, что это не реальное «электронное облако», а только «облако вероятностей». Где-то внутри него находится электрон, но природа позволяет нам только гадать, где же именно он находится.

В своем стремлении узнать о природе вещей как можно больше современная физика обнаружила, что существуют вещи, познать которые точно ей никогда не удастся. Многому из наших знаний суждено навсегда остаться неопределенным. Нам дано знать только вероятности.

Плотность («белизна») облачка пропорциональна плотности вероятности обнаружения электрона.

Итак, хотя окружающий нас мир действительно огромен и сложен, но по мере того, как развивались научные теории, многие его особенности стали выглядеть для нас значительно проще и понятнее. Мы уже достигли понимания большого числа принципиальных и важных законов природы. В частности, о ряде областей физической науки можно сказать, что мы понимаем рассматриваемые в них явления. Некоторые из этих разделов физики перечисляются ниже. Вместе с теорией относительности и статистической механикой их можно отнести к числу величайших достижений человеческого ума.

1. Законы классической механики дают нам возможность рассчитывать с исключительной точностью движение различных тел Солнечной системы (включая кометы и астероиды); знание этих законов позволило предсказать существование новых планет и открыть их. Эти законы подсказывают нам, как могли образоваться звезды и галактики, вместе с законами излучения они дают хорошее объяснение наблюдаемой связи между массой и яркостью звезд. Астрономические применения законов классической механики — это наиболее красивые, но не единственные примеры их успешного применения. Мы постоянно используем эти законы в повседневной жизни и в технических науках.

2. Законы квантовой механики дают очень хорошее представление о характере явлений атомного масштаба. Для простых атомов предсказания, сделанные на основании этих законов, согласуются с опытными данными с точностью до одной стотысячной, а иногда и лучше. Если применять законы квантовой механики к крупномасштабным земным или космическим явлениям, то они окажутся с отличной точностью тождественными законам классической механики. В принципе квантовая механика представляет собой надёжную теоретическую основу для всей химии, металловедения и значительной части физики, но зачастую мы не в состоянии довести до конца решение ее уравнений с помощью уже имеющихся (или даже более совершенных) вычислительных машин. В некоторых областях физики почти все задачи представляются в настоящее время настолько сложными, что даже их теоретический анализ, основанный на общих принципах квантовой механики, оказывается чересчур трудным.

3. Законы классической электродинамики отлично описывают все особенности электрических и магнитных явлений, за исключением явлений атомного масштаба. Классическая электродинамика является теоретической основой электротехники и техники средств связи. Закономерности электрических и магнитных явлений атомного масштаба точно описываются квантовой электродинамикой.

4. В качестве более частного примера из другой области науки укажем, что в настоящее время, по-видимому, становится понятным действие генетического кода, и мы обнаружили, что запас информации в клетке простого организма превосходит запас информации в лучших современных серийных вычислительных машинах. Этими вопросами занимается молекулярная биология.